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 3 et 2 respectivement, donc P' et Q' seront aussi des ordres 3 et 2 respec- 

 tivement. En combinant les équations 



on obtient 



ou pins généralement 



U=PQ'-P'Q = o, .> = - 



P' 



P-f-«P' 



Q' 



(où u est un paramètre arbitraire); mais en écrivant cette équation sous la 



forme (Qoj — P) + a(Q'u — P') = o, on voit que les monoides cubiques 



que représente cette équation sont toutes en involution avec les deux mo- 



noïdes cubiques Qu — P =r o, O'w — P' = o; on peut donc dire qu'il y a 



dans le cas dont il s'agit t^eua; monoïdes cubiques. 



» Monoïde cubique, signature 7.21110. — Ici le cône ne passe pas parles 



six droites de la monoïde, donc il n'existe pas d'équation identique telle que 



p 

 U = PQ' — P'Q, et la monoïde w = - est la seule monoïde cubique. 



» Je passe au cas d'une monoïde quartique; la signature sera 



222 1 1 1 1 1 1 1 1 I , ou 2222 1 1 1 1 1 1 1 o, ou 22222 1 1 1 1 100, ou 2222221 1 1000. 



» Monoïde quartique, signature 322 1 1 1 1 1 1 1 1 1. — Le cône U = o passe 

 ici par toutes les douze droites de la monoïde, c'est-à-dire on aurait iden- 

 tiquement U = PQ' — P'Q, où P, Q seraient des fonctions homogènes de 

 (x, j", z) des ordres 2 et i respectivement, et il y aurait une monoïde 



P' 

 quadrique w = ^- Ce cas n'existe donc pas. 



1) Monoïde quartique, signature 2222 1 1 1 1 1 1 10. — Le cône U ;= o passe 



par toutes les douze droites de la monoïde, hormis une seule droite; donc 



en écrivant M = o pour l'équation d'un plan quelconque par cette droite 



exceptée, le cône MU = o passe par les douze droites de la monoïde : on a 



donc identiquement MU=PQ' — P'Q, où P', Q' sont des ordres 3 et 



P' 

 2 respectivement, et il passe par la courbe la monoïde cubique w = —,; 



de plus M contient une constante arbitraire (M=:K + aL, en prenant 

 K^ o, L = o pour les équations de deux plans qui passent chacun par la 

 droite mentionnée); donc P',Q' contiennent aussi cette constante arbitraire. 



