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 Tine iieuvièine droite; et p;ir les neuf droites on peut faire passer le cône 



P 

 qiiartiqiie P = o (5 constantes). Cela donne la inonoïde quartique 00 = ^5 



où w contient implicitement comme facteur une constante; il y a donc en 

 tout 9-f-8 + 5-i-! =23 constantes. Mais en combinant l'équation de la 

 raonoïde avec l'équation U = o du cône quintique, on obtient la monoïdc 

 quartique 



" "~ Q + c.Q'-f-pQ"+7Q"'' 



et sans perte de généralité on peut disposer des constantes a, fi, y, de ma- 

 nière à satisfaire à trois conditions quelconques; on doit donc tlin)inuer 

 de 3 le nombre 23, ce qui donne enfin 20 constantes. 



» La courbe 8 — 3 contient i8 constantes, il faut donc chercher quelle 

 est la particularité qui doit avoir lieu pour que le cas monoïde quartique 

 à signature 222222 1 1 i 000 donne une courbe 8 — 3. 



» T'ai nommé droite de la inonoide les droites P ^ o, Q = o qui passent 

 par le sommet; en supposant qu'il y ait sur la monoide des droites qui ne 

 passent pas par le sommet, on peut appeler transversale une telle droite. Or, 

 pour l'espèce 8 — 3, il doit exister sur la monoïde quartique trois transver- 

 sales qui ne se rencontrent pas; car alors, en faisant passer- par ces trans- 

 versales un hyperboloïde, cet hyperboloïde et la monoïde se coupent 

 selon les trois transversales et selon la courbe 8 — 3 dont il s'agit. Or, en 

 supposant qu'il existe une transversale, le plan jiassant par le sommet et 

 cette transversale contient trois des droites P := o, Q = o. En effet, un plan 

 quelconque par le sommet coupe la monoïde selon une courbe quartique 

 avec un point tri|ile au sommet; pour le plan mené par une tran^versale, 

 cette courbe quartique devient la transversale et une courbe cubique avec 

 \in point triple au sommet; cette courbe cubique sera évidemment un sys- 

 tème de trois droites, à savoir trois des droites P = o, Q = o. Et réciproque- 

 ment, si trois quelconques des droites de la monoide sont situées dans un 

 plan, ce plan coupe la monoïde selon les trois droites et selon une transver- 

 sale. S'il y a sur la monoïde une seconde transversale, il y aura de même ui. 

 second système de trois droites dans un plan; on démontre que si le pre- 

 mier système est composé de trois droites, et le second système de trois 

 autres droites, les deux transversales se coupent; donc, si les deux transver- 

 sales ne se coupent pas, les deux systènses auront une droite commune, S il 

 y a sur la monoïde une tioisième transversale, il y a de même un troisiènK; 



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