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 système de trois droites dans un plan ; et si les trois transversales ne se ren- 

 contrent pas, il est (le plus nécessaire que deux quelconques des trois plans 

 aient en commun une droite de la monoïde; cela revient à dire qu'il doit 

 y avoir parmi les douze di'oites P = o, Q = o de la monoïde six droites 

 7, 8, 9, 7', 8'. 9' telles, que les droites 7, 8', 9', les droites 7', 8, 9', et les 

 droites 7', 8', 9 soient situées chaque système dans un même plan : cela 

 étant, la monoïde aura trois transversales qui ne se rencontrent pas. 



» Je prends à volonté par un point quelconque de l'espace un tel sys- 

 tème de six droites 7, 8, 9, 7', 8', 9' (g constantes); je fais passer par les 

 six droites un cône cubique quelconque Q = o (3 constantes) et aussi un 

 cône quartique quelconque P = o (8 constantes); au moyen des deux 



P 

 cônes je forme l'équation oj == — de la surface monoïde; il y a une con- 

 stante arbitraire contenue implicitement en oj : cela donne en tout 

 9 + 3 + 8+1 =21 constantes. Les deux cônes P = o, Q = o se coupent 

 selon les six droites 7, 8, 9, 7', 8', 9', et selon six autres droites i , 2, 3, 4, 

 5, 6 : il suif de la théorie précédente (mais on peut aussi démontrer analy- 

 tiquement) qu'il existe un cône quintique U = o qui satisiait aux conditions 

 de passer deux fois par chacune des droites i, 2, 3, 4» 5, 6 (avoir chacune 

 de ces droites pour une droite double, 18 conditions) et une fois par cha- 

 cune des droites 7, 8, 9 (3 conditions, en tout 18 + 3 = 21 conditions). 

 Et cela étant, on aura la courbe 8—3 déterminée au moyen du cône U = o 



P 



et la surface monoïde oj = — , à signature 2222221 11 000 (à savoir les 



droites i, 2, 3, /j, 5, G qui sont par rapport au cône des droites doubles, les 

 droites 7, 8, 9 des droites simples, et les droites 7', 8', 9' des droites qui ne 

 sont pas situées sur le cône). Le nombre des constantes est 21, mais au 

 moyen de la transformation 



P-^-aP'+pp" + .),?'" 

 "'" QH-aQ'+pQ'+vQ'"' 



on réduit comme auparavant ce nombre à 21 — 3=:: 18, ce qui est juste. 

 )) J'ajoute les considérations que voici : le cône U = o passe deux fois 

 par chacune des droites i, 2, 3, 4> 5, 6, une fois par chacune des droites 

 7, 8, 9. Soil M = o l'équation du système des trois plans qui contieiuient 

 les droites 7, 8', 9', les droites 7', 8, 9' et les droites 7', 8', 9 respectivement; 

 le cône M = o contient chacune des droites 7, 8, 9 une fois, et chacune des 

 droites 7', 8', 9' deux fois. Donc le cône MU = o contient chacune des 

 droites 1, 2, 3, 4) 5, 6, 7, 8, 9, 7', 8', 9' deux fois; ces douze droites sont 



