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transversales. En écrivant, pour abréger, 

 A = ââ'&", 



C = ce' c/' âx'- + jS" ^â' j^ + y/ ^" 2' 



+ (7/S"t^ + -j'[iâ") yz 4- [a'jr^ a"Yâ)zx -h ( ^"a'â + |3a"(?'j.^; ) -, 



cette équation est 



Aw* + Boj -f-C = o, 



P 

 et en éliminant o^ entre cette équation et l'équation u = — > on obtient 



l'équation 



AP» + BPQ + CQ= = o, 



laquelle, en vertu de l'identité 



AP- + BPQ + CQ- = JCjrzU, 



se réduit à U = o, équation d'un cône du cinquième ordre, ce qui donne le 



P 

 systèmo U =: o, '^j ^ — - de cône et monoïde à signature 222222 i 1 1 000. 



Pour démontrer l'identité dont il s'agit, il convient de remarquer qu'en 

 substituant dans l'expression AP^+ BPQ 4- CQ' les valeurs de P et Q, tous 

 les termes contiennent explicitement le facteur xyz bormis les termes que 

 voici : 



A{j-z-PX- + z-x-rrY- + .r-j'Ç-Z'), 

 - B{j'z-S,"-Xt}-hz\z-rj^\&' -h x^y--ÇZr), 

 + C{j-z^B'â^ + z-x-rrâ" + .T-jr=Ç^(?"n, 



et pour démontrer que ces termes exceptés contiennent aussi le facteur xyz, 

 li suffit de faire voir que la fonction AX* — BXc?4-Co'^ contient le fac- 

 îeur X, car alors, par la symétrie, les fonctions AY* — BYc? -)- Câ'' et 

 AZ^ — BZJ"' + C<?"- contiendront respectivement les facteurs j et z, < I 

 l'expression entière sera divisible par xjz. Mais en écrivant x = o, ou 

 ti'ouve 



AX'^ = ââ'riPf-hyz)- 



- BXc? - [o>'^")/3j + 7z) -h c?(j3"c?';- + 7'c?"s)]oX/3j + 71.) J = o, 



+ Cc?= + ( /3 j + 7z) (i3"c?' r+7'«?"2)c?' 

 c'est-à-dire AX'^ — BXo*4- Câ'^ contient le facteur x. Donc enfin 



AP* + BPQ + CQ= 

 contient le facteur xjz, ce qui était le théorème à démontrer. » 



