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» On pourrait évidemment, en essayant l'nne après l'antre des fonctions 

 autres que la raison directe ou inverse, lechercher leurs conséquences pour 

 la déformation des figures, et enricliir peu à peu ce mode d'études de res- 

 sources nouvelles. Mais cette manière de jirocéder aurait ie défaut essentiel 

 de devoir ses résultats à peu près au liasard et tl'exiger un grand nombre 

 d'essais, que les circonstances ne conduiraient peut-être jamais vers les 

 formes les plus remarquables. 



» Une méthode rationnelle doit renverser les termes de la question et 

 chercher directement à conserver les propriétés les plus intéressantes des 

 ligures en déterminant les types fonctionnels qui devront pour cela servir 

 de base à la transformation. Dès que celte idée se présente à l'esprit, il est 

 facile d'en apercevoir toute l'étendue. 



i> Les deux transformations que j'ai citées laissent au rayon vecteur sa 

 direction et se bornent à en modifier la valeur d'après une fonction fixe de 

 cette même longueur. De cette manière le nouveau rayon ne dépend que de 

 l'ancien, et le nouvel azimut ne diffère [)as du proposé. On pourrait pour 

 plus de simplicité conserver cette restriction, mais ce serait sacrifier ime 

 partie de la généralité que j'ai teiui à laisser entière. Il conviendra donc de 

 supposer que chacune des nouvelles coordonnées peut être une fonction 

 des deux anciennes, on réciproquement. 



» De plus, rien n'oblige à borner ces recherches aux coordonnées po- 

 laires, et on peut en entreprendre pour tous les systèmes possibles. Je n'ai 

 pas besoin d'ajouter que si les figures planes présentent inie importance 

 particulière en raison de leiu' plus grande simplicité et de leur emploi pins 

 fréquent, il y aiu'a en même temps un certain intérêt à attaquer les mêmes 

 questions pour les figures de l'espace. 



» Enfin ce genre d'analyse ne devra pas être limité à la Géométrie pure 

 dans laquelle on chercherait à conserver les directions des lignes, les angles 

 de deux familles de courbes, et en particulier les systèmes de trajectoires, le 

 rap|)ort des aires, celui des volumes, l'orthogonalilé des surfaces, etc. On 

 povuTa pénétrer sur le terrain de la Physique mathématique et se proposer, 

 par exemple, de conserver la propriété des figures isothermes, la force dans 

 les systèmes de potentiels, la dilatation cubique dans les corps élasti- 

 ques, etc. De même dans le domaine de la Mécanique on cherchera à con- 

 server le rapport des vitesses linéaires ou aréolaires du mobile proposé et 

 de son conjugué, la |iropriété des courbes roulantes, etc. 



)) Cet aperçu rapide; donne dans ses principaux traits le progranune des 

 recherches qui font l'objet de ce Mémoire. Dans la première partie j'ai envi- 



