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 sage avec détails le système polaire, qui est de beaucoup le plus riche eu 

 résultats. Je mets ensuite en parallèle ceux que l'on obtient pour la Géomé- 

 trie de la sphère tout à fait analogue à celle du plan. Enfinj poiu- in'élever à 

 la phis grande généralité possible, j'ai développé dans la seconde partie les 

 mêmes questions et d'autres encore pour des coordonnées cinvilignes quel- 

 conques. On obtient alors comme de simples cas particuliers tout ce qui 

 concerne les coordoiniées polaires, rectangidaires, sphériques, elliptiques, 

 ainsi que les coordonnées isothermes quelconques ou celles de toutes 

 espèces de potentiels. 



» Je n'ai pas encore indiqué le principe qui peut guider dans ce genre 

 de recherches. Il est en lui-même des plus simples, et toutes les difficultés 

 seront pour l'application. 



» Si ?<, w, M' désignent les coordonnées dans un système quelconque, nous 

 aurons en appelant u,, f,, w, les nouvelles coordonnées du même système, à 

 chercher quelles fonctions «, l'^wdeii,, i'i,n', doivent être substituées aux 

 coordonnées dans les équations de courbes ou de surfaces quelconques 

 pour conserver une relation toujours la même entre l'ancienne et la nouvelle 

 valeur d'un élément géométrique déterminé (comme la surface, l'angle de 

 deux lignes, etc.). Or, cet élément se trouve exprimé d'une manière géné- 

 rale parles théories établies en fonction de u, i', îv et de leurs différentielles 

 des divers ordres. Delà une relation fondamentale entre deux expressions 

 formées de la même manière, l'une en u, v, iv, l'autre en u,, r,,"'»- D'ailleurs, 

 la théorie du changement de variables permettra de développer la première 

 en fonction de ?/,, v,, w, et de leurs différentielles sans spécifier les fonctions 

 encore inconnues u, v, w. On obtiendra ainsi une relation qui doit avoir 

 lieu identiquement, c'est-à-dire indépendamment de toute condition, entre 

 u,, i',, tv,; car la figure à transformer reste quelconque. Cette équation 

 unique se décomposera donc en plusieurs autres à l'aide desquelles on aura 

 alors à déterminer les fonctions inconnues u, c, w. 



» On voit par là que cette analyse reposera essentiellement sur l'inté- 

 gration d'équations difléreiitielles partielles simultanées du premier ou du 

 second ordre presque jamais linéaires, théorie qui est aujourd'hui comjjlé- 

 tement à faire. Heureusement, comme cela a lieu presque toujours dans les 

 recherches qui ont un objet bien défini, il arrive que des simplifications de 

 détail permettent de surmonter les difficultés analvtiques delà question. » 



