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 un système de points qui en général seront très-distincts. Mais il peut arriver 

 que deux de ces points se confondent, c'est-à-dire que les trois surfaces se 

 rencontreront en deux points consécutifs, ou, si l'on veut bien, seront toutes 

 trois touchées par la même ligne droite; pour que cela ait lieu, une cer- 

 taine fonction des coefficients doit s'évanouir, laquelle, pour le moment, 

 manque de nom. Continuons en supprimant encore une surlace. Les deux 

 surfaces qui restent se couperont dans inie courbe qui, en général, ne possé- 

 dera aucune singularité. Mais il peut arriver que cette courbe possède un 

 point double, dans lequel cas les deux surfaces seront touchées par le même 

 plan. Pour que cela arrive, une certaine fonction des coefficients doit s'éva- 

 nouir, à laquelle, comme exprimant la condition de tangence, notre grand 

 géomètre M. Cayley a proposé de donner le nom dejacl-invarianl- 



» On peut exprimer sous une forme générale la nature des conditions 

 analytiques qui doivent être satisfaites dans tous ces cas, et dans le cas le 

 plus général où il y aura / fonctions U,, Uj,...,!], de« variables .r,,X3,.,,jr„. 

 Écrivons 



U, =: o, Uj = o, . . . , U,- = o, 



X, (?U, + XoC^U^ +. . .-I- ).,c?U,- = o, 

 X,, Xa,.- • > h étant des quantités indéterminées. Puisque 



tl.i\ dx, " dx„ 



cette dernière équation donne lieu à [n — i "+ i) équations indépendantes : 

 donc le nombre total des équations homogènes à satisfaire avec les n va- 

 riables sera [n — i + i) + i = n -{- i ; poin* que cela soit possible dans le 

 cas général d'un tel nombre d'équations avec un tel nombre de variables, 

 deux conditions entre les coefficients devraient être satisfaites; mais dans le 

 cas actuel une seule sera suffisante, car il existera toujours un rapport 

 syzygétique entre les équations. Dans le cas où il n'y a qu'une seule fonc- 

 tion U, l'équation U ^ o devient tout à fait superflue, et dans le cas où 



i = n, l'équation V)vC?U = o, qui exprime que la jacobienne des n fonc- 

 tions est égale à zéro, devient également superflue. Mais dans tout autre cas, 

 quoique en vertu de l'identité U ^ Si '^' Ti '' ^'^'^^'^ un rapport syzy- 

 gétique entre les équations, il n'est pas permis de se passer d'une quel- 

 conque d'entre elles, sous peine d'introduire des facteurs étrangers dans 

 l'expression finale. J'espère ne pas trop encourir l'indignation de mon très- 



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