( '076 ) 



honoré confrère M. Poncelet, en donnant un nom spécifique à la fonction 

 dont l'évanouissement exprime la condition suffisante et nécessaire pour 

 que ce système d'équations soit simultanément satisfait, et je propose de lui 

 donner le nom, qui n'est pas tout à fait étranger à la Géométrie, dCosculant; 

 ainsi on peut ]3;irtir de l'osculant d'un système de i fonctions homogènes 

 quelconques de «variables, et on voit que les discriminants, ]es jact-inva- 

 riants de M. Cayley et les résultants ne sont que des espèces particulières 

 des oscnlants : pour les discriminants / = i, pour les jact-invn riants i = 2, 

 pour les résultants i = Ji. 



» Il importe beaucoup au développement de cette théorie de bien fixer 

 le degré desosculants par rapport à chaque système de coefficients contenu 

 dans les fonctions auxquelles ils appartiennent. 



» Pour les deux extrémités de l'échelle d'osculants, c'est-à-dire les dis- 

 criminants et les résultants, les expressions pour ce degré sont très-simples 

 et bien connues. Pour \esjact-invaiiants le degré n'a été trouvé (je crois par 

 M. Cayley) que pour le seul cas où n = 3, c'est-à-dire pour les contacts 

 des courbes. Le théorème suivant donne l'expression absolument générale 

 p our les osculants de chaque ordre îi et de chaque classe /. 



» Soient ;??,, m^, .. ., m, les degrés des variables des i fonctions, et pour 

 plus de simplicité écrivons m, = i -+- p., , ni2 = i + fXo, •••5 '"i = i + f-,- 



» En général, soit ^^,{[J.2i P-s» • • •W-'-i) '» somme des puissances et des pro- 

 duits homogènes de /Xj, p.3,..., p-,, et soit G^ le degré de l'osculant du 

 système par rapport aux coefficients de la fonction U;;. Alors je dis que 



- G, = H„_,( U.2, p.3, . . . , p.,) -i- 2 H„-,_, (/J.2, lJ-3,----, F-i)F-i 



m„"h,- ■ 



et on trouve de même les valeurs de Gj, G3, . . . , G,-. 

 » Pour \esjact-invariants i = 2, et le théorème devient 



G, = m,[ij:f'-ha[j:-'[J., -h 3p."-^p.î +. . .-h [n - Of^T ]. 

 G, =m,[p.'P+ 2|:ji';-'P2 + '^ij-TUA +••■+ (« - OpT]' 



ou, si l'on veut, 



r. F'j — "^Kr* + ("-') PÎ . 



(f^i — P'j 



