( 'f»?? ) 



» Si n =■. 3, 

 G, = m2[(/?îj— i) + 2(m, — i)]=7M2(w2+2'"i — 3), G2=;»,(n2, + 2m2— 3): 



c'est le cas du contact de deux courbes. Quand n = 4, c'est-à-dire qu'on 

 veut trouver le degré de la condition pour le contact de deux surfaces, on 

 trouve 



G, = /«2(nÎ2 + 2m^nlç,-]- Zm\ — 4 '«2 — 8/», -+- 4)- 



Pour trouver les degrés de la condition de rencontre en deux points consé- 

 cutifs de trois surfaces, il faut prendre / = 3, 72 = 4 ; alors on trouve 



G, = m^m^^in^ -r- 1U3 -+- -un, — 4)- 



Pour le cas des polaires réciproques, on a 



i^2, vif -=1171, m2=:i-, 



et on retombe sur les résultats connus pour ce cas. Si on suppose dans le 

 cas général m, := m^ = . . . = m,, on obtient pour le degré de l'osculant, 

 dans un système quelconque de coefficients, 



-i ï '- i7i' * (m — i) • 



1 . 2 . . . (' ^ ' 



» Pour mettre en plein jour la véritable identité de valeurs de ce genre 

 compréhensif des osculants, je ferai l'extension à une classe de ces fonctions 

 d'un théorème bien connu pour le discriminant de deux fonctions. 



)) On sait bien que le discriminant du produit de deux fonctions homo- 

 gènes en j: et _^ est égal au produit de leurs discriminants multiplié par 

 le carré de leur résultant. Ainsi, en se servant de ù comme le symbole uni- 

 versel de l'osculation et supposant F, et F' ces deux fonctions, on peut 

 écrire 



Û(FF') = QF X OF X [îi(F,F')]=. 



Remarquons bien qu'on ne peut pas étendre ce théorème dans sa forme 

 actuelle à des fonctions de plus de deux variables, car quand F, F' sont des 

 fonctions de 3 ou un phis grand nombre de variables, on a identique- 

 ment 



û(FF')=o. 



Or, considérons F,, Fj, . . . , F,, F', , {1 + i) fonctions de (j -+- 1) variables : 



