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 I honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie, j'étabHs les formules 



I = r~^' t's — — T— 7ï'-- ^2«-) = — rrô; 



2.3 '~ 2.l5 ^"-' 2(4"— I) 



p 2«j^^--i) ^ 2/^2/ ^ — i)(a/z — 2j(2/; — 3) p _^2np_ 

 -"-' 173 '^-"-^ "^ 2.3-4-5 -"-' ~ -^*^'-^ 



dans lesquelles P,, Pj..., P2„_,,..., sont des nombres entiers impairs. 

 » I- En partant du développement de 1 on trouve (*) 



(A) tang.r^4(4-i)-^x-... + ...±4"(4"-i) , ,^°-,^ .x-^"-'^-. 



Pour développer directement tang x, il suffit de prendre l'équation 



^"cosjc = sin X, 

 et d'employer ensuite la formule de Mac-Laurin. On obtient ainsi 



(B) tang^ = J.^ + j3 7-^ +•••+ J=«-, ..,...(,„_,) +-. 



J',, j 3, /s,-.., étant des nombres CM/jers, déterminés par la relation 



j' , {2n — i){in — 2)_ 



(C) , 



j [■2n — l)l2« 2U2« — 3)(2« 4) 2/î — I 



( + ^ ,...3-4 tV.«-.--±-^J. = ±'- 



» II. La comparaison des formules (A), (B) donne 



» D'un autre côté, à cause des deux relations : 



4"B,„_. + 4"-'^^^^B,„_3+...+ 4^B. 



2n 

 > 



T> , 2/z(2/2 — l) _l_ ^'^ R _ ^" — ' /**\ 



^=«-'-*" ^73— B,„_3 +...+ - B, -^,3„^,,( ), 



(*1 Comptes rendus, t. LTV, p- io3i. 

 (**) Comptes rendus, t. LIV, p. io6o. 



