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est devenue 1 instrument universel des Mnthématiques. On ne saurait, en 

 effet, trop admirer la portée et l'immense utilité de cette méthode, surtouf 

 dans les recherches qui demandent l'intervention de quantités infinitésimales, 

 comme cela a lieu dans l'étude de la plupart des phénomènes naturels. 



» Mais on ne peut se dissimuler que dans la Géométrie proprement dite, 

 et en particulier dans la théorie des courbes, auxquelles cette méthode 

 pouvait être dans l'origine destinée, elle perd souvent ses avantages. Cv 

 qui le prouve bien, c'est que les questions relatives, soit aux propriétés des 

 systèmes de courbes assujetties à des conditions communes, soit à la con- 

 struction de ces courbes, n'ont fait jusqu'ici que très- peu de progrès. Dans 

 le cas même le plus simple, celui des sections coniques, sur cinq conditions 

 arbitraires, on n'en a presque jamais admis qu'une seule qui ne fût pas de 

 toucher des droites ou de passer par des points; et encore, les conditions 

 introduites isolément dans les problèmes n'ont pas été variées, et l'on n'a 

 traité, en définitive, que très-peu de questions, bien que celte théorie des 

 sections coniques doive être considérée comme le point de départ néces- 

 saire dans l'ensemble des recherches que comportent les courbes et les sur- 

 faces de tous les ordres. 



» C'est qu'en effet la méthode analytique, si simple de conception, en- 

 traîne des difficultés, le plus souvent insurmontables. Ces difficultés sont 

 de deux sortes : car il faut d'abord exprimer au moyen de cinq équations, 

 entre les coefficients de l'équation générale des sections coniques, les cinq 

 conditions données; et ensuite effectuer l'élimination de quatre coefficients 

 pour obtenir une équation finale ne renfermant plus que le cinquième coef- 

 ficient, équation que l'on regarde comme résolvant le problème. 



» Or l'expression de chaque condition par une équation peut être très 

 difficile, et l'équation obtenuefort compliquée et d'un usage peu commode: 

 certaines conditions même peuvent exiger l'introduction de quelques 

 variables auxiliaires, et par suite de nouvelles équations de condition. Enfin 

 l'élimination entre les équations obtenues, qui n'est plus qu'une opération 

 de pure analyse, se trouve néanmoins presque toujours fort pénible et sou- 

 vent absolument impossible, quoique à cet égard l'analyserait acquis depuis 

 quelques années de grandes ressources qui peuvent en faire présagcM* de 

 nouvelles. 



» Ce sont ces difficultés multiples qui ont retardé les progrès dont la 

 théorie des sections coniques et celle des courbes de tous les ordres étaient 

 susceptibles. 



» Ces difficultés n'existent pas dans la méthode que j'ai exposée; car elle 



