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V. 



» Cette substitution exige la connaissance de quelque propriété des sys- 

 tèmes, qui se rapporte à chaque condition. 



» On pourr.ut craindre, au premier abord, que la recherche de ces pro- 

 priétés offrit de grandes difficultés, qui missent obstacle à la pratique de la 

 méthode : car la théorie des courbes géométriques, même celle des simples 

 coniques, n'a fait que bien peu de progrès dans cet ordre de recherches. On 

 ne s'est guère occupé, en effet, jusqu'ici que des systèmes de courbes satis- 

 faisant à la seule condition de passer par des points, ou bien de loucher 

 des droites, et l'on n'a pas même associé entre elles ces deux conditions 

 différentes. A plus forte raison n'a-t-on pas considéré des conditions d'une 

 autre nature. 



» C'est qu'en effet la méthode analytique, si propre à exprimer par une 

 simple équation un faisceau de courbes qui passent par des points, éprouve 

 de très-grandes difficultés pour représenter de la même manière d'autres 

 systèmes, et dès lors pour en découvrir les propriétés. 



» Conçoit-on, par exemple, que l'on puisse demander l'équation géné- 

 rale d'un système de coniques assujetties à toucher une courbe donnée; 

 à couper sous un angle donné une autre courbe ; dont une directrice soit 

 tangente à une troisième courbe; et qui soient vues d'un point donné, sous 

 un angle donné? Peut-on même demander le lieu des sommets, ou l'enve- 

 loppe des axes des courbes du système? 



VI. 



« Nos procédés de démonstration satisfont à ces questions si variées; 

 et c'est encore sur la notion des deux caractéristiques qu'ils reposent. Cette 

 notion, après avoir donné lieu à la méthode de substitution, procure une 

 méthode générale et uniforme pour la recherche des propriétés qui se rap- 

 portent aux conditions données. 



M La méthode consiste à considérer deux séries d'éléments variables, deux 

 séries de points ou de lignes, droites ou courbes, qui dépendent des deux 

 caractéristiques du système et se correspondent, comme cela a lieu dans la 

 théorie des figures homographiques; la question est toujours de reconnaître 

 la loi de correspondance et d'en conclure le nombre des cas de coïncidence 

 entre deux éléments correspondants. Les applications que nous allons faire 

 de ce procédé général de recherche et de démonstration nous dispensent 

 d'entrer ici dans plus de détails. 



