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VIT. 



» Dans plusieurs questions on a à exprimer des conditions d'angles 

 de grandeur constante. Par exemple, on peut demander de trouver le lieu 

 (les pieds des obliques abaissées d'un point fixe sur les courbes d'un système 

 et sous un angle donné; ou bien de trouver l'enveloppe des droites met:ées 

 par les points d'une courbe d'ordre quelconque, et faisant des angles de 

 grandeur donnée avec les coniques qui passent par ces points ; etc. Toutes 

 ces questions présentent des difficultés en Analyse, et souvent même on ne 

 peut pas distinguer le sens unique dans lequel les angles sont formés, parce 

 que le signe + ou — , destiné à exprimer ce sens, perd sa signification dans 

 les calculs. Ces difficultés sont éludées avec succès dans notre méthode, au 

 moyen du rapport anharmonique par lequel on exprime les conditions de 



grandeur des angles. 



YIII. 



» Dans un système ^e coniques qui satisfont à quatre conditions, il 

 existe toujours un certain nombre de coniques qui forment des cas parti- 

 culiers, soit des coniques représentées par deux droites, soit des coniques 

 réduites à une droite limitée à deux points, ce que nous appelons des coni- 

 ques iufiuiment aplaties. Ces coniques exceptionnelles interviennent dans 

 un grand nombre de questions, et elles ont créé jusqu'ici des difficultés, 

 parce que, n'en connaissant pas le nombre dans chaque question, on n'en 

 pouvait pas tenir compte. Elles se présentent aussi dans nos démonstrations; 

 mais le nombre en est toujours connu, étant une fonction constante des 

 deux caractéristiques du système; dès lors on y a égard sans difficulté, et 

 l'on obtient ainsi des solutions définitives. La règle à ce sujet est bien 

 simple. 



» Dans tout système de coniques (4Z) ^{[J-, v ), le nombre des coniques infi- 

 niment aplaties est[iix — v); cl le nombre des coniques représentées par deux 

 droites est (2 v — fi). 



M Ces nombres se concluent de divers théorèmes que l'on démontre de 

 deux manières différentes. Dans l'une les coniques exceptionnelles n'inter- 

 viennent pas, tandis que dans l'autre elles influent sur le résultat. La diffé- 

 rence des résultats fait connaître le nombre de ces coniques. 



» Les moyens de vérification des théorèmes ne manquent pas; car on 

 peut les démontrer, en général, de plusieurs manières, et c'est même un des 



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