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 caractères de notre méthode et du genre de recherches auxquelles nous 

 l'appliquons. 



» Ainsi, l'on a vu que le nombre 2 (fi+v) des coniques (|x, v) qui louchent 

 une conique donnée résulte de chacun des théorèmes VI, VII, XVII et 

 XVIII {C. R., p. 3oo-3o2). On peut le conclure aussi des théorèmes IV 

 et XV, mais alors il faut tenir compte des coniques exceptionnelles. Par le 

 théorème XV, par exemple, on dira que par chaque point de U passent p. 

 coniques du système, et conséquemmeut 3^. cordes sous-tendues par ces 

 coniques dans U; que ces cordes enveloppent donc une courbe de la 

 classe 3|u,, laquelle a 6^jl tangentes communes avec U, et enfin que chaque 

 tangente commune est une corde infiniment petite sous-tendue par une 

 conique du système. Il semblerait donc qu'il y eût 6p. coniques tangentes 

 à U, quand on sait qu'il n'y en a en réalité que 2(p, + v); différence, 

 a(2fJi. — v). Cette différence prouve qu'il existe (ap. — v) coniques infini- 

 ment aplaties dont chacune intercepte dans U deux cordes infiniment 

 petites. Et de là on conclut, corrélativement, que le nombre des coniques 

 représentées par deux droites est (2v — p.); ce qui, d'ailleurs, se démontre 

 aussi directement par le théorème IV. 



» Il est une foule d'autres questions qui conduisent aux mêmes con- 

 clusions et qui sont autant de démonstrations des deux formules. 



Lemmes pour le procédé général de démonstration. 



» Nous avons dit que la considération des deux caractéristiques des 

 systèmes de coniques (et cela s'entend des courbes de tous les ordres) don- 

 nait lieu à un procédé général de recherche et de démonstration des pro- 

 priétés des systèmes : que ce procédé ou cette méthode consistait à comparer 

 deux séries de points ou de lignes qui se corres[)ondent, et à déterminer la 

 loi de correspondance. Le raisonnement que l'on fait poin- cela est toujours 

 le même. Nous allons le démontrer une fois pour toutes dans les deux lemmes 

 suivants. 



» Ces lemmes, et le procédé de démonstration qui en résulte, s'appliquent 

 aux systèmes de courbes de tous les ordres. Mais ce qui manque ])our lé- 

 soudre toutes les questions relatives à ces courbes, comme on peut faire 

 maintenant pour les coniques, c'est la connaissance des caractéristiques 

 des systèmes élémentaires, c'est-à-dire des systèmes dans lesquels n'entrent 

 que des points et des droites, puisque c'est dans ces systèmes qu'on doit 

 introduire successivement toutes les conditions d'une question, par voie 

 de substitution de ces conditions aux points et aux droites. 



