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» Lemme I. Lorsqu'on a sur une droite L deux séries de points x el ii, tels, 

 au à un point x correspondent a points u, et à un point u, ê points x : le nom- 

 bre des points x qui coïncident avec des points correspondants u, est {a + S). 



» En effet, en représentant jjar les mêmes lettres x et u les distances 

 des points des deux séries à une origine fixe prise sur L, on a entre ces dis- 

 tances une relation telle que 



x^iku"- + Bu"-' +...) + œ'-'iA'u"- + B';<"-' +...)+...= o; 



et les points x qui coïncident avec des points correspondants u sont déter- 

 minés par l'équation 



Ax"+« + (B + A') x''^^-' + ... = G. 



» Il suffit donc de prouver que le coefficient A du premier terme de cette 

 équation n'est jias nul. 

 .» Or, si le point u est supposé à l'infini, l'équation entre x et u devient 



ou 



A J?^ + A'x^-' -1- . . . = o. 



Il doit toujours y avoir S points x correspondanis à ii, et par conséquent 

 le terme A.x^ existe nécessairement dans cette équation. 



» Donc, etc. Ainsi le lemme est démontré. 



» Mais il est possible que les (a + 6) points ne satisfassent pas tous au sens 

 précis de la question, c'est-à-dire qu'il s'y trouve ce qu'on appellerait, en 

 Analyse, des solutions étrangères. Il peut s'y trouver aussi des solutions 

 appartenant aux coniques exceptionnelles, et qu'on doit écarter. L'examen, 

 à ce sujet, ou la vérification est toujours facile dans chaque question. 

 Divers théorèmes présenteront des exemples de ces deux genres de solu- 

 tions étrangères. 



» Lemme II. Lorsque deux séries de droites x et u passent par un même 

 point, si à une droite x correspondent a droites u, et et une droite u, S droites x : 

 il existeiri (a + 6j droites x qui coincidt:ront avec des droites correspondantes u. 



» Ce lemme est une conséquence immédiatedu précédent, car on peut sup- 

 poser que les droites JT et u soient déterminées par deux séries de points x 

 et n situés sur une même droite L. « 



(La suite sera le sujet d'une prochaine communication.) 



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