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 Ordonnant par rapport à .r, el remarquant que les nombres a, ^,.-i ^S coïn- 

 cident, sauf l'ordre, avec un système de résidus, de sorte que leur somme 

 a + b -h... -i- k^o, mod. p, il viendra 



ô(x) = a- X [b + ■xP--c-h... + {p - i)P-''k] 

 — x-[b-h 2P-'c-h...-h {p — \)P-^k] 



-x''-^[b+2C+... -+-{p- i)k], 



ce qui est un polynôme à coefficients entiers du degré /> — 2, et dont voici la 

 propriété caractéristique. 



» Formons la suite des puissances 0-{.r), 5'(x),..., d''~^{x), et soit, en 

 général, 



6"{x) = {n)o + {n),x -h {n).x- -i-... + («)„(;,-2,^'" '''-", 

 je dis qu'on aura 



('Oo -!-(«)/'-( + {n)up-t} + --- +(«)(«-l)(p-))=0. 



Effectivement, n, b,..., A, représentant dans un ordre quelconque un sys- 

 tème de résidus, on a 



e«(o) + 5''(i)+... +Q"{p— \) = a" -\-b" -+-... +A-« 



= i"+a" + ... + A" 

 ^o, mod.p, 



de sorte qu'en éliminant dans9"(jr) les puissances de.r dont l'exposant est 

 supérieur à p — i , à l'aide de la relation x''~' 5^ i, le coefficient du terme 

 indépendant auquel on sera ainsi amené devra être congru à zéro. 



» Et, réciproquement, tout polynôme à coefficients entiers, de degré 

 p — 2, 



ô{x) — G -f- Hx +... +Nx''-% 



qui remplira ces conditions, pourra servira désigner une substitution, car 

 en faisant, pour un instant, 



6(o) = a, 5(i) = è,..., 5(p-i) = A, 



la fonction [x — a){x — b)...{x — k) coïncidera, en vertu des relations 



a"-hh" +... -^ A"=o, 



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