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 avec JcP — .T ou a:{jc ~ i)...{x — p -i- i\ et, par conséquent, rt, ^,..., k 

 représenteront un système de résidus. 



» Ces premières remarques faites, nous allons les employer à l'étude des 

 substitutions, en partant de ce fait évident de lui-même, que si Q (x) est une 

 fonction quelconque, propre à représenter une substitution, la suivante 



.^(jc) = a5(.r + /3) + 7, 



en excluant la valeur a^o, aura, quels que soient /3 et y, la même propriété. 

 Or il est aisé de définir, dans un tel ensemble d'expressions, une forme réduite, 

 unique, qui, une fois connue, donnera toutes les autres, et ce qui se présente 

 le plus naturellement c'est de déterminer a de manière à rendre égal à 

 l'unité, dans 9- (j:), le coefficient de la puissance la plus élevée de la variable, 

 jS en faisant disparaître le coefficient de la puissance immédiatement infé- 

 rieure, et 7, entin, de sorte qu'il n'y ait pas de terme indépendant. On pourra 

 même chercher à réduire ultérieurement .9^ (.r), en considérant l'expression 

 (/.^■{frjc), où il restera encore lui entier arbitraire, ajirès qu'on aura rendu 

 égal à l'unité le coefficient du terme du plus haut degré. La notion des formes 

 réduites ainsi établie pour les fonctions 0[x), nous allons, en considérant 

 les cas de ^ =r 5 et p = 7, montrer comment elles se déterminent. 



Premier cas : p = 5. 

 » Les formes réduites sont 



B-{x)^x, X-, x^ + ax; 



la seconde est à exclure atleridu que ^^ ( x) ^ x* ^ j , et il ne reste à consi- 

 dérer que la dernière dont le carré est x'^-h^ax'^ + a' ^x" (\ -\- n'^) -h la. 

 Devant faire disparaître le terme indépendant, il faut poser a^o; toutes les 

 autres conditions se trouvant d'ailleurs remplies par l'expression 3-{x)^x', 

 il en résulte que la totalité des substitutions, pour un système de cinq lettres, 

 s'obtiennent en employant pour indices 



ax -+■ p, 

 c({x-h /3)*-f7, 



où l'on n'excepte que la valeur a^o. M. Beiti avait donné déjà ce résultai 

 dans le tome 11 des Annales de Torlnlini, et récennnent M. Brioschi en a fait 

 l'application la plus ingénieuse dans son beau travail sur la mélhode de 

 Kronecker poiu' la résolution de l'équation du cinquième degré [Jetés de 

 l'Institut Lombard, année i858). 



