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 Deuxième cas : yo = '7. 

 » On devra partir des expressions 



^{jc)^jc, jc', x-^-\-nx, x'' -h ax' -h hx , x^+ ax^ + hx--^ ex, 



dont la seconde et la troisième sont d'abord à rejeter, le terme indépendant 

 existant nécessairement dans le cube de l'une et le carré de l'autre. Soit donc 



d- {x) ^^i x* -^ ax- -h bx . 



Le terme indépendant de ^' [x) donne immédiatement a^o. On trouve 

 ensuite 



{x'-^bxf=x\b^ + ?,b]+?,b''+ 1, 



d'où cette condition 



3è- + i=o, /(E^dzS, 



et par conséquent ces deux formes 



3- (jr)sHa'* 4- 3x, x" — ix. 



La seconde se ramène à la première en recourantau dernier mode de réduc- 

 tion que nous avons indiqué en commençant. On trouve en effet, en pre- 

 nant s- (a-)^jr'' —Sx, 



a-à[ax)^X''' — 3a' a:, 



de sorte qu'il suffit pour y parvenir de poser a'^— i, c'est-à-dire de pren- 

 dre a non résidu de 7. Cela étant connu, on obtient pour la série des puis- 

 sances : 



.9- [x)^x'' -t-3x, 



s--(x) EEEsôx^ -+- 3 j:-, 



S-' [x] ^x'\ 

 5-*(x)^3j:* + jj, 

 1 ^'^ [x)^'ix'' + 6x'^ . 



Ainsi toutes les autres conditions se trouvent remplies d'elles-mêmes. 

 )i Soit en dernier lieu 



.9- ( x) ;^E x^ -4- ax^ H- bx- + ex ; 



on aura, en égalant à zéro les termes indépendants dans le carré, le cube, et 

 la quatrième puissance, 



2f + a^ ^o, 



é(3 + &ac + b-)^o, 



ab- + 4i'>"C^ + a (2fl + C-) (1 -\- inc + h-)-^^o. 



