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 r^a seconde équation conduit à supposer d'abord b^o, ce qui réduit la 

 dernière a 



(art + c^) (2 + 2flc)5^o. 



Or, en yfaisant c^~ — a^^Za^. elle donne l'identité 



:j(a + rt'')(i — rt')^2(a — a')^o; 



on a donc cette expression 



â[x)^x^ ■+- ax^ + 3a*x, 



où a reste indéterminé, mais que nous pouvons ramener aux cas de a^o, 

 eta^i, a^3, d'après la relation 



a.9-(a.r) i;^x' — aa" x^ + Zn'^a- x. 



On vérifiera aisément que la cinquième puissance ne renferme pas d'ailleurs 

 de terme indépendant. Supposons enfin que é ne soit pas ^o, les deux 

 dernières équations donnent, en y faisant c^3a^. 



d'où ces deux solutions 



( rt' Hs— I, b^ ± 1; 

 on en conclut ces nouvelles formes réduites, 



s(a7)^EX^ + aj?'±x= + 3a^r (aNR7), 

 que nous ramenons, en opérant comme tout à l'heure, à celles-ci : 



S- [x)^X^ -^ 2X-, 



S- [x) ^x"^ -\- 3x' ±x- — X. 



En résumé, toutes les substitutions d'un système de sept lettres, au nombre 

 de 5o4o, se trouvent représentées de cette manière 



i^X \ {l ^X 



Z \ t z 



a .r -+- /3 / \ «0 {x -1-/3)+ y 



