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 la fonction [x) prenant successivement ces formes: 



2a?% 



x° -+■ ax^ + 3 a^ J7 [a c[uelconque ), 



x'^ -f- ax'^ ± X- + '5a-x [a non résidu de 7). 



C'est le résultat que j'ai déjà indiqué dans une lettre adressée à M. Brioschi, 

 et publiée dans les Annales de M. Tortotini; je vais le compléter en présen- 

 tant quelques remarques sur les diverses fonctions s- {x), et me servant à 

 cet effet des formes réduites précédemment obtenues, savoir : 



» {x)^x''-{-3x, X^ + 2X^, x^-hx^ + 3x, x^ + 3k^~x, X^-i-?>X^±X^ — X. 



A l'égard des deux premières, je distingue en deux groupes les valeurs de x\ 

 suivant leur caractère quadratique par rapport au module 7; on trouvera 

 ainsi : 



x"^ -h3x^ix, xR'j, 



^l\X, xl^R'j, 



^x-, XNR7. 



Pour la troisième, je distinguerai les indices en résidus cubiques, et non 

 résidus par rapport à 7, et il viendra 



.X* 4- X* + 3x^ — 2X, x'R. cubique 7, 

 ^= + 2 cT , X NR cubique 7 . 



Pour les deux dernières enfin, on parviendra encore à des formes mo- 

 nômes, mais sous un point de vue bien différent, car on trouvera 



x^ 4- 3.r' — a: ^ 3a;-, .r < - » 



:= ô X' m X ^ — 5 



2 



et par suite, en faisant £ = it i, 



.r' + 3a:' + £.r- — x^ (3 4- £)x-, x< -> 



= (-3 + €)xS x>l 

 Ces remarques, qu'on vérifie facilement, autorisent jusqu'à un certain point 



