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 peut-être à supposer que dans l'étude des formes analytiques de substitu- 

 tion pour un nombre j^remier quelconque p de lettres, les expressions 

 que nous avons nommées réduites se ramènent elles-mêmes à d'autres beau- 

 coup plus simples, eu considérant les valeiu's de l'indice comme résidus ou 

 non résidus de puissances dont l'exposant diviserait/; — i, ou bien encore 

 comme divisées en ces deux séries : 



x= I, 2, 3,.. 

 P -\-\ p- 



P— I 



.r 



Soit, par exemple, p=i mod 4 ; l'expression 



s,[x) = xP--\ ï-\-2' -^ ?>' + ... ^ UL:z±\\ 



-^ocP-' Tu- 2= + 3' + ...+ {——)% 



-i-ji'i + 2-+-3+ ... -I- y- — î- j , 



devient simplement : — - jc- pour x < - et ^ — x^ pour x > -■ Si de 



plus^- est lui-même premier, en permutant circulairement les coeffi- 

 cients, on aura de nouvelles expressions se réduisant dans les mêmes con- 

 ditions à x^" et -\ — a;^", l'exposant w étant un nombre entier moindre 



que 



2 



p— ' 



» Soit en second lieu 



^[x)^ax'"\x ^ ^ i j — hx''\x ' — i/: 

 il est clair qu'on aura simplement 



ô- {x)^2ax<", xRp, 



c'est à cette catégorie qu'appartient, dans le cas de /; = 7, l'expression 

 B-{x)^ — x^ — 2X*, qui vérifie les relations 



3-[.5-(x)J^x. 



