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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations du quatrième deqré. 

 Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite par M. Brioschi. 



« Permettez-moi de vous entretenir un moment de quelques relations 

 entre les équations analogues à celles du multiplicateur, dans la théorie des 

 fonctions elliptiques, et celles de la théorie des formes cubiques à trois in- 

 déterminées; ces relations, établissant une nouvelle liaison entre ces formes 

 et la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, peuvent 

 avoir quelque intérêt pour vous qui le premier avez signalé un fait analy- 

 tique de la même espèce. Soient ST les invariants d'ime forme cubique ter- 

 naire U ; s, t ceux de sa transformée canonique : 



x' + ^^ + z' -+- 6 Ixjz ; 



en indiquant avec d le déterminant de la substitution propre à réduire U à 

 la forme canonique, on aura 



S^d's = hdH[P-\), T = dH = d'{8l' +20/' 



et les racines X,, .r,, X3, x^ de l'équation 



(i) x*-6Sx= + 8Tx-3S= = o 



peuvent s'exprimer au moyen des formules 



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\fx]^ld\J — 6, \^JC2^{l — i)d\J^, y/jc^^Çl — ix)d\/'2, \Lvt=[l — a.'^)d\Ji, 



a étant une racine cubique imaginaire de l'unité; c'est-à-dire, les deux pro- 

 priétés évidentes des coefficients de l'équation supérieure donnent pour les 

 racines les deux conditions 



y/xa + v/xj + v^Xj = — \J — 3x,, y/xj + a y/xg + a} \/x, ^ o . 



Or on peut déterminer deux, et seulement deux fonctions entières de yjx, 

 qui ont la propriété de vérifier deux équations linéaires analogues aux 

 précédentes. En nommant \/X une quelconque de ces fonctions, et X,, 

 Xj,..., les valeurs de X correspondantes à x = x,,X2,..., on doit avoir pour 

 ces fonctions 



VX -(- v'Xj + s/X, = - y/- 3X, , VXj +ûLsjX,-\- a? y/X, = o, 

 et l'on trouve très-facilement que ces fonctions sont 



(a) VX=V^> VX = (x'-7Sx-i-8T)v'^. 



