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Par conséquent, si on appelle lu l'angle soiis lequel les lignes asymptotiques 

 coupent les combes (c), on a 



( 6 ) P cos^ &) — 2 R sin oj cos w + — sin^ oj = o ; 



.mais pour que l'angle w convienne à ries lignes géodésiques, il faut que 



I fda' 



du 



ds' 



dv], 



2 eg \ r/v du 



OU plus simplement, à cause de e = i , 



(7) (l'" = — g'f'T'''; 



donc la relation cherchée est le résultat de l'élimination de oj entre les équa- 

 tions (6) et (7). 



» On peut observer que les équations (6) et (7) sont satisfaites pour 

 w =: G quand P ^ o; alors les génératrices rectiiignes de la surface 1' se 

 confondent avec les courbes (i»), et par conséquent ont pour transformées 

 les génératrices rectiiignes de la surface 1; laissant ce cas de côté, je diffé- 

 rentie l'équation (6) et je simplifie le résultat au moyen de l'équation (7) et 



Il 1 ■ ?'^'' Il ■ 



de la relation tangoj ^"-7- : i obtiens 



° (lu ' 



cos-cU-^gcotM- 



g, I 2 ( — — Pjsinucosw + 2R(sin' w — cos^w) 



,dK 

 1 sin oj cos fjL) -p -f- £• cot w , 



(h ° (lu 



d.9. 



d.- 



dv 



gCOi'ji 



OU, en posant cotw =: »», 



"lui' 



r ^ Q 



dK\ 's 



^-^siKy'-^\j-du-' 



dp 



'R 



^+=^«'1^ g 



du I 



d.- 



dv 



O, 



-2R§',=0, 



et à cause des équations (5) ou (5 his)^ 



(8) 



rfp 



fr 



» du. 



nr 



- 3 



f/R 



d.^ d.^ 



m'+ 3i( —^/H -+--7^ 



'-' du dv 



2Rg, = o; 



l'élimination de oi entre les équations (6) et (7) est ainsi ramenée à celle de m 

 entre l'équation (8) et la suivante 



(9) P/M- — 2 R/?j -f- - = o, 



en laquelle se change l'équation (G), lorsqu'on remplace cot oj par sa va- 



