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prononcer, avec quelque apparence de certitude, touchant la composi- 

 tion de ces atmosphères. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur la courbure des surfaces. Note de M. l'abhé Aoust, 

 présentée par M. Le Verrier. 



« La courbure d'une section droite faite dans une surface, ainsi que la 

 courbure de cette surface, s'exprime simplement au moyen des courbures 

 des courbes coordonnées tracées sur cette surface, lorsque ces courbes sont 

 les deux systèmes de ses lignes de courbure. Mais si les courbes coordon- 

 nées sont quelconques, elles se coupent sous un angle variable d'un point 

 à l'autre, et alors les expressions des courbures de la surface et de la sec- 

 tion droite présentent une certaine complication. Or, si l'on introduit dans 

 ces expressions les courbures inclinées des courbes coordonnées dont nous 

 avons déjà fait usage dans notre Théorie géométrique des coordonnées cur- 

 vilignes quelconques [Comptes rendus, t. LIV, p. 462), ces expressions 

 deviennent à la fois simples et significatives. 



» 1. Soient les paramètres |3|, (Oo dont les variations déterminent sur la sur- 

 face F un système de coordonnées curvilignes quelconques; d 7,., ci (72 les 

 arcs élémentaires de ces courbes, le premier provenant de la variation p,, 

 et le second de la variation p». Nous avons appelé angle de contingence in- 

 cliné de la courbe a^ l'angle /j des tangentes aux deux courbes d'une même 

 série (pj), menées par deux points, infiniment voisins, de l'arc o-, correspon- 

 dant à une valeur déterminée de p, ; courbure inclinée de l'arc c,,. le rap- 

 port de l'angle /o à l'arc d<j-2- La direction de ce rayon de courbure est celle 

 de l'arc de cercle de rayon de, décrit du sommet de l'angle j^ entre ces 

 deux côtés. Si l'on appelle pi,, [j..^ les rayons de courbure inclinée des 

 arcsf/o-,, d(j2] du un déplacement normal à la surface, au point que l'on 

 considère; R,, Ro les rayons principaux de courbure en ce point; rie rayon 

 de courbure d'une section normale quelconque dont l'élément est c/o-, Ton 

 aura la relation suivante : 



cos fi| dn cos p, dn 



laquelle indique que les projections des courbures inclinées des deux lignes 

 coordonnées (Y 0-,, ^Co sont égales. 



u 2. Courbure d'une section droite en Jonction des courbures des courbes 



coordonnées et de leurs courbures inclinées. — Soient -> - les courbures de 



