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da., dc^. Appelons - i - ) - les projections des courbures - ? r ' - sur la 



'^' r, r, n ' J ),, A, ft, 



normale à la surface : la formule que nous avons trouvée est 



/-\ . /^- . / /N _ ,/\ 



r r, Ti n 



Si le systéiiie devient orthogonal quelconque, - devient la seconde cour- 

 bure géodésique de l'une quelconque des deux courbes coordonnées, 

 c'est-à-dire le rapport de l'angle de deux plans normaux infiniment voisins, 

 menés à la surface suivant une ligne coordonnée à l'élément de cette courbe ; 



en appelant - cette seconde courbure géodésique, la formule précédente 

 devient : 



I sin'rfo-, drs cosV/o-, drs 2 sin rfo-, da cos </<7, da 



- = 1 1 



Quand le système orthogonal est formé par les lignes de courbure de la sur- 

 face, on retombe sur la formule d'Euler. 



» 3. Courbures de la surface enjonclion des courbures des courbes coordon- 

 nées et de leurs (ourbures inclinées. — Nous avons trouvé la formule: 



sin' (/<;, dfj, i i 



'^^ R, R, ~ 7^,~ V 



Si le système des coordonnées devient orthogonal quelconque, on retombe 

 sur la formule connue : 



H,R, 



Si les éléments rf(7,, dci sont dirigés suivant deux tangentes à la surface con- 

 juguées, et qu'on appelle v,, v._, les rayons de seconde courbure géodé- 

 sique des arcs d<7^, da^, l'on a : 



x\ 



,«. cos'rfcr, da, i 



^ ' R,R. ~ ~ ^' 



Si l'on élimine n entre les deux formules (i) et (2), et que les angles que 

 forment entre eux les é\én\entsdc, da,, da^ soient pris positivement ou 

 négativement, suivant que la rotation se fait d'un côlé ou de l'autre autour 

 du point commun à ces trois éléments, on aura la courbure de la surface 



