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 1) On connaît la solution de ce problème, pour le cas où l'on suppose 

 que toutes les courbes qui vont de Mo à M, sont dans un même plan, et que 

 l'axe de rotation est constamment normal à ce plan. Si j: et ^ sont des 

 coordonnées par rapport à deux axes rectangulaires fixes, pris dans ce plan ; 

 si l'on a 



R=S/X^+Y% tangy=.I-, 

 X et Y étant des fonctions réelles de x et j- ; enfin si l'on pose 



u = .T-hr\/- i, F(«) = X + Yv'- I, 



la résultante considérée ci-dessus n'est autre que la ligne menée de l'origine 

 des coordonnées au point qui représente la valeur de l'intégrale 





prise avec la valeur initiale zéro. Or on sait que, pour que la valeur de cette 

 intégrale ne dépende que de ses limites, il faut et il suffit qu'on ait 



rfX_ dY dX _ dY 

 dx dy dy dx 



pourvu que les diverses courbes qui conduisent de Mo à M, ne comprennent 

 entre elles aucun point où X et Y ces.sent d'être continues. 



)i J'ai réussi à résoudre complètement le problème dont l'énoncé pré- 

 cède, sans faire aucune hypolbèse sur la nature des courbes et sur la direc- 

 tion de l'axe de rotation, sauf la condition qu'il soit, en chaque point, nor- 

 mal à la courbe décrite. J'ai trouvé les conilitions suivantes, dont on re- 

 marquera l'analogie avec celles que l'on trouve dans le cas particulier indi- 

 qué ci-dessus : 



» Pour que la résultante ne dépende que des coordonnées des points Mo 

 et M, , il faut et il suffit : i° que toutes les courbes tracées entre ces deux 

 points soient situées sur une même surface, appartenant à la classe de celles 

 qu'on appelle surfaces d'étendue minimum, el du reste quelconques; 2° que 

 l'axe autour duquel se fait la rotation soit constamment normal à cette sur- 

 face; 3° que R et (p, considérées comme fondions de coordonnées x et j-, 

 relatives à un certain système de trajectoires orthogonales sur la surface, 

 soient de la forme 



Y 



R = ^/X' + Y^ tangy=-, 



C. R., iS63, 2""^ Semeuie. (T. LVII, N» 21.) ' '" 



