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 donnent ituniétliatenienl, pour la rncine quatrième du module et de son 

 complément, des fonctions uniformes à l'égard de la variable w définie en 

 posant q = e"^"'. C'est ce qu'on voit dans les Fundamenta, § 36, ou sont 

 établies ces relations : 



■-7')(i 



('-H7')--- 



VA' 



on encore sous forme entière 



VA- = V9. V'?[(> + -?'')(i + 7') (> + /)■••? [('-VJI'-?^)!'- 7')-], 



VÂ'= [(. + <?=){> + -7^) (i + r/)...][(,-9)(,-ry')(,-fy^)... p. 



Mais celte conséquence importante ne résulte pas des développements sons 

 forme de quotients de séries des mêmes fonctions, savoir : 



>.ni am 



2IS..C 1 a^/^sinx — 2 y/iy' sin3 j; -|- 2 y'ç" sinS»: 



cosani 



27 COS2.r -I- 2i7'C0s4 X — 2 7' COs6.r-|- 



2K.X / k' 2 ij q COSX + 2 y/ljr" C0s3x -I- 2 y/ç-' COsSjr-f- 



TT V ^ ' — 217 C0S2X + 2(^' COs4'^ 29'COsG.r-l- 



. 2K.X — I + 20 COS2X -t- 2«' COS4X + 217'cOSbx + 



A ara = vA ^ i 7-—^^ — i ,. 



TT I la CO%7.X -\- ■iq' C0%!lx 2o'c0SDX-|- 



4. 



car c'est seulement alors la racine carrée du module et celle de son com- 

 plément qui sont données en fonction de q par ces formules 



2 V 7 + ■! v'?' ■+- 2 v'7" + • ■ ■ 



vA- = 



I -4- 2 (7 + 2 7' + 2 17' -H . 



t; _ : — 27 + 27' — 27'' + ... 

 ~ 1+27 + 27'-!- 279 + ... 



') Dans celte Note, je me propose d'établir, poiu' sinam.î', cosanij:, 

 Aamx, de nouveaux développements en série de sinus et de cosinus, ana- 

 logues aux précédents, mais qui donneront aussi bien que les produits infinis 

 les racines quatrièmes de k et k' comme fonctions uniformes de la variable 'j. 



On en déduira, en effet, (-("s formules remarquables, oii le signe ^ s'étend 



