( 99^ ) 

 à toutes les vHicurs positives et négatives de h . 



{/k = • V A-' = 



V k = ;i ■ ' V ' 



y/^j = = ' ^r = — 



et auxquelles Jacobi est déjà parvenu dans son Mémoire uititulé : Ubrr 

 iinendliche Reihen, deren Exponenlen zucjleich in zivei venchiednen qiunhd- 

 lischen Formen enthallen sind, en les déduisant des produits infinis en f/ rap- 

 portés plus haut. Les propriétés si importantes auxquelles donnent lieu ces 



quantités \/Âet sjk' , lorsqu'on y remplace w par 7- » a, b, c, r/ étant des 



nombres entiers assujettis à la condition arl — ^c = i, résultent de ces for- 

 mules, et peuvent être établies, comme j'espère le montrer, d'une manière 

 simple et facile. 



» I. Pour abréger l'écritiu'e, je conviendrai de désigner les quatre 

 fonctions 



2Kx\ _ /'2Kx\ ,,/2K.r\ ,. /2Kx\ 



0(^1' «-(^)' "(^> "' 



par 0{jc], 6, (.r), /; (jt), /;, (a), de sorte qu'on ait, en mettant en évidence 

 la quantité '.) dont il a été question tout à l'heure : 



5(x, m) =: r -I- iq cos 2X -h 2rj''cosl\x — 2(y^cos6x 4- ..., 

 5,(x, 0)) = I + a^r cos 2.r+ 27" cos/ix -1- 2 7'cos(')J"-t- ..., 

 ■/) [jc, a) = 1 vysin .r — ■?. y'/'"' sin 3 j: + '2 v^^^ sin Sx — ..., 

 r,,{x, w ) = 2 v'/cosjt- + 2s/f/^ cos^jc + 2 yf/" cos 5 a' + .... 



Cela posé, la transformation du second ordre donnera ces deux systèmes 



i33. 



