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» Voyons le Mémoire (que je viens de ciler) lie Jacobi, et [îiirticulière- 

 ment les assertions d'impossibilité, dontja première est page 56. Aprrs l'in- 

 contestable déduction : itnde /imclio X (;() indicem haberel itlla data (jiiaiili- 

 tale ininoiem neqite tamen evcmesrentem, on lit : quod ficri non polcst. Mais 

 d'où vient cette impossibilité? Jacobi n'en dit rien; car, n'ayant alors pro- 

 bablement en vne cjue la classe de fonctions de laquelle font partie les lonc- 

 tioiis circulaires et elliptiques, il dut voir l'impossibilité descendre à l'évi- 

 dence de ce que la fonctinn aurail dû reprendre la même valeur à des intervalles 

 infiniment petits. Mais la périodicité est bien loin d'entraîner cette consé- 

 quence, lorsqu'on a égard à toute classe de fonctions, et qu'on l'envisage 

 du point de vue qui nous est indiqué par la continuité., qui seul peut nous 

 guider sans incertitude à travers la multiplicité des valeurs des fonctions, 

 uuiltiplicité d'ailleiu's que l'on ne peut re|)Ousser sans méconnaître la vraie 

 nature de l'analyse et en affaiblir beaucoup la puissance. 



)) Soit 3=j:-f- 7^ î une variable complexe dont les valeurs soient représentées, 

 comme à l'ordinaire, par les points z d'un plan [z]. l^e même signe expri- 

 mera donc le nombre aussi bien que son point représentatif Soit de même [Z] 

 le plan des points Z représentatifs des valeurs d'une fonction Z (z) = X + Y/. 

 Nous employons z et Z (z) au lieu de m et X [ii). 



» Faisons marcher z avec continuité à partir d'une certaine valeur ou 

 points. Si z était monodrome, son mouvement se produirait sans aucune 

 incertitude. Mais si Z, étant contituie, n'était pas monodrome, ce ser.iit à 

 la continuité de rendre le mouvement déterminé. Ayant pris pour valeur de 

 départ de la fonction une de ses valeurs correspondantes de Zq (que je dé- 

 signerai par Zo, en laissant au symbole Z (zq) sa signification multiple), les 

 valeurs successives de Z devront être celles qui succèdent à Z^ avec conti- 

 nuité. C'est bien ce que l'on est habitué à faire. Le mouvement de Z ne ces- 

 serait d'être déterminé qu'au passage de z par des points singuliers. 



» Voici maintenant le point de vue d'où la continuité nous fait concevoir 

 la périodicité. Soient 



(i) w, ct', jr",..., 



autant de périodes de Z (z). Cela doit purement signifier que, pour toute 

 valeur de Zq et pour tout système de valeurs de 



(2) m, m', m!',... (*), 



(*) Par la lettre m, avec ou sans accent, je représenterai toujours des nombres entiers ar- 

 bitraires, positifs, nuls ou négatifs ; par la lettre y-, des nombres entiers fixés. 



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