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il soit possible de satisfaire a l'équation 



(3) Z(Zo H- mv; + m' zs' + ra"sy" + ...) = Z (zj ; 



dans ce sens, qu'en prenant pour second membre une (Zq, quelconque 

 d'ailleurs) des valeurs de Z correspondantes à Zq, il en existe toujours une 

 égale parmi les valeurs du premier membre. Mais le passage de z^ à 



(4) Zq + w sr + 7n' 37' -f- m" st" -H . . . , 



comment doit-on le concevoir effectué par z? Il doit s'effectuer sans dis- 

 continuité, c'est-à-dire non brusquement, mais en suivant un chemin con- 

 tinu. Or, cela étant, est-ce que Z, en partant de Zg et marchant avec conti- 

 nuité, reviendra inévitablement toujours au même point Zo, lorsque s 

 arrivera au point (4) ? Il est clair que non ; car la valeur finale de la fonc- 

 tion ne dépend pas seulement du point final (4) où la variable doit arriver, 

 mais aussi du chemin qu'on lui fait parcourir. Il y aura bien donc toujours 

 mie infinité de chemins conduisant z de Zq à (4), pour lesquels Z reviendra 

 à Zo; mais ces chemins convenables pourront tous se réduire (par des défor- 

 mations permises) à une certaine réunion de chemins élémentaires d'autant 

 d'espèces différentes qu'il y a de périodes, et ils ne formeront par là qu'une 

 catégorie spéciale parmi tous les chemins possibles ayant leur terme dans 

 les mêmes points. Lorsque ces points extrêmes sont infiniment proches, 

 tout chemin infiniment court (comme en particulier la droite) qui les 

 joint, ne pouvant provenir de la réunion requise des chemins élémentaires 

 susdits, ne sera pas dans la catégorie des chemins convenables. Quant au 

 nombre des chemins élémentaires qui doivent entrer dans la composition 

 d'un chemin convenable, il est en général d'autant plus grand que la distance 

 entre les termes de ce chemin est plus petite; car cette distance se rend plus 

 petite en faisant croître les nombres (a). 



» Mais je ne pousserai pas plus loin les considérations générales, dont 

 la brièveté de cet article ne permet pas le développement nécessaire, et j'of- 

 frirai plutôt l'analyse d'un cas particulier, qui va éclaircir suffisamment les 

 idées qu'on vient d'exposer. A la vérité je crois, du reste, que même la 

 seule énonciation de ces idées suffit à détruire l'opinion que la périodicité 

 multiple exige inévitablement que la fonction reprenne la même valeur à 

 des distances infiniment petites, ce qui formait l'obstacle (*) à son admis- 

 sion dans le domaine des fonctions d'une seule variable. 



(*) Car on en tirait la conséquence que la fonction aurait dii être une constante. Voyez 



