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» § II. — Pour cas particulier, je prends un cas offrant la |)lus simple 

 périodicité interdite par le théorème de Jacobi, qui est celle à deux pé- 

 riodes w et sr', dont le rapport est réel et incommensurable. Ces périodes 

 sont par là deux nombres (complexes, en général) ayant des arguments 

 égaux, et leur rapport est le même que celui de leurs modules. L'argument 

 reste encore le même pour les sommes ms + m'zs\ dont les points représen- 

 tatifs se trouvent tous sur la droite qui, passant par l'origine, fait avec l'axe 

 réel l'angle mesuré par l'argument. Ces points, en nombre infini, par des 

 systèmes convenables de valeurs de m et ?n', peuvent être conçus comme se 

 succédant à des distances infiniment petites, mais non vraiment avec conti- 

 nuité. Car la quantité mmode^r + m'modar', qui exprime le module ou la 

 longueur à mesurer de l'origine siu- la droite pour obtenir le point 

 mzs -\- m' zs' , peut s'approcher indéfiniment, mais non devenir vraiment 

 égale à une longueur donnée quelconque. Cette quantité conserve tou- 

 jours, pour tout système de valeurs finies de m et m', l'empreinte de sa 

 forme arithmétique particulière (*). Je me hâte de dire cependant que de 

 telles considérations n'entreront pour rien dans notre analyse. 



« Soit le cas de la fonction inverse Z définie par l'équation {**) 



(5) ■ z = Z(i-Z)-V^/(,-iz), 



ou par l'une des suivantes 



(0) -/(.-^-vS-^)"^. f = -<'W.-)^^e^, 



par exemple, page 76 de l'excellent ouvrage de MM. Briot et Bouquet : Théorie des fonc- 

 tions doublement périodiques. 



(*) Si l'on considérait un cas de quatre périodes, deux réelles et deux purement imagi- 

 naires, les points représentatifs de ces périodes et des sommes de leurs multiples (j'entends 

 toujours multiples entiers) seraient les intersections de deux systèmes de droites parallèles 

 aux axes (réel et imaginaire). Chaque système contiendrait une infinité de droites à des dis- 

 tances que l'on pourrait concevoir moindres que toute grandeur donnée. Cependant on 

 ne pourrait encore s'accorder parfaitement avec Jacobi dans l'opinion qu'il en serait de 

 même comme si ces points couvraient vraiment le plan : Unde functione l («) imnuitata 

 manente, ipsum u induere posset vatores omnes reaies aut imnginarios — sive — e numéro 

 valorum, quos ipsum u induere potcst, functione \(u] immutata manente, sempcr forent qui 

 a data qualibet quantitate reali aut imaginaria minus différent quam ulla quantitatc data 

 qaantumvis parm. (Page 71 du Mémoire.) 



(** ) Il va sans dire que dans le choix de cette fonction j'ai eu égard à sa simplicité et non 

 pas à l'importance de son rôle dans l'analyse. 



