COMPTE RENDU 



DES SÉANCES 



DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 



SÉANCE DU LUNDI 12 OCTOBRE 1865. 

 PRÉSIDENCE DE M. VELPEAU. 



MEMOIRES ET COMMENICATIOIXS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ta théorie des fonctions elliptiques; 



par M. Hermite. 



« En développant suivant les puissances de l'argument les trois fonc- 

 tions sin amx, cosamx, Aanijr, on obtient les séries suivantes : 



sin am j:: 



■(i + A-) — ^ + (t4-i4A--+A-') %-n: — . 



^ '1.2.3 ^ ^ ^1.2.3.4-5 



cos aui X =: i — — -i-( i -\- ^k 



2\ 



1.2 '1.2.3.4 



Aamx= I — A- ^^ h Ik^-h^/r 



4 



1.2 ^ '1.2.3.4 



où le coefficient d'un terme quelconque, 5 , est 



^ ^ I.2.3...2W + 1 1.2.3. ..2n 



une fonction entière et à coefficients entiers du module k^. Mais jusqu'ici il 



n'a pas été possible d'en obtenir l'expression générale, et tout ce que ion 



sait à leur égard résulte simplement des relations 



sin am ( kx, -\ z=k sin am(jr, k) , 

 cosam Ikx, -j = Aam(jc, A). 



On reconnaît ainsi que les coefficients de sin amx sont des polynômes réci- 

 proques, et que le développement de cosamx donne immédiatement celui 



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