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 de Aamx. C'est de cette fonction, cosamx, que je vais m'occuper en ce 

 moment, me proposant d'établir à l'égard des coefficients, dont voici les 

 premiers d'après Gudermann : 



1 + 44^-'+ 16A:*, 



i-f- 408 A-' + 9 ( 2 A* + 64 A% 



i + 368HA-= + 30768 A^+ i58o8A°4-256A% 



la remarque suivante. 



» Posons A; = cos 9 et introduisons les arcs multiples, au lieu des puis- 

 sances du cosinus; en les multipliant chacun par A on trouvera successi- 

 vement 



A+ 4A^ =4cos5 -h cos35, 

 A+ 44A' + i6A' = 44cos5+ i6cos3ô + cos55, 

 A + 408 A' -{-g\o.k^ -hSliP = QiT. cos9 -+- 4o8cos35-f-64cos5ô + cos 7$. 



» Ou aperçoit dans ces égalités que les puissances de A et les cosinus des 

 multiples de Q ont précisément les mêmes coefficients. Or, en général, si ion 



représente le coefficient de ^^ dans le développement de 



cosama: par 



n 



Ao -t- A, /?■= 4- A, A* + . . . + A,,A=" = ^,A,k-\ 



o 



on aura cette relation : 



2 A,cos-'"^' ô = V A, cos(2« -+- i —4') ^1 



qu'on peut facilement démontrer, comme on verra. Mais je veux d'abord 

 taire voir par un exemple comment elle sert à calculer directement les nom- 

 bres entiers Aq, A,, A», etc. 



» Soit « = 4 : R'i faisant, pour simplifier. A, =4''ïi> e* posant A^ = i , on 

 trouvera, en remplaçant par les arcs multiples les puissances du cosinus : 



cos9 + 4«i cos'5 + i6rt2Cos'5 + 64rt3Cos''ô -t- 25604 cos'5 

 = cosô + rt, (cos3ô 4- 3cosô) + rt2(cos 59 + 5cos35 4- locosô ] 

 -l-rt3(cos75 -+- 7cos5 Ô+ 21 cos3ô 4- 35cos6) 

 4- «4 (cosQÔ 4- 9COS76 4- 36cos55 4-84cos39 4- i26cos5). 



