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 On en conclut, entre les quatre inconnues, les cinq équations que voici : 



I =a<, 



i6rt2 = I + 3fl, + loflj + 35^3-1- 1 aôfl,, 

 64«3 = rt, 4- 5^2 + 21^/3 4-84(74, 

 256«4 = «3 4- gflj. 



Leur somme conduisant à une identité, on peut omettre l'une d'elles, et si 

 l'on exclut la troisième, un calcul facile donne : 



«, = 922, ^2=1923, «3 = 247, <i4 = r, 



ce qui conduit en effet au coefficient rapporté plus haut, d'après Guder- 

 mann. Laissant de côté l'étude de ces équations considérées en général, et 

 me bornant à remarquer les valeurs 



A„ = 4", 



A„_, = 4'"-'-(2«4-i)4"-S 



_ 9"-^' -9-8" 

 ^' - TE ' 



j'arrive à la démonstration de l'égalité 



^ A,cos-'+'ô = 2A,cos(2rt4- I — 40 ^5 



et à cette occasion, comme j'aurai à faire usage de la transformation du se- 

 cond ordre, je vais donner diverses formules qui s'y rapportent, et qui peu- 

 vent être utiles dans bien d'autres circonstances. 



» La principale, celle dont toutes les autres peuvent être tirées, est 



■ /- ) sin am x 

 sin am 



[(,^„.,iii,] = (i 



■ X- sin'ama: 



Il suffit pour cela d'opérer tour à tour sur les fonctions au module pri- 

 mitif k, et au module transformé, en employant les relations de la transfor- 

 mation du premier ordre; on le démontre en partant de ce théorème 

 arithmétique que tous les systèmes linéaires 



a, b I 



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