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On prendra pour a la racine carrée de a^, qui est de la forme 4^ + 'i 



a- étant le carré impair. D'ailleurs, si/ désigne une des deux racines de 



z*^ — I (mod./?), on a 



a'f-~b' {mod. p). 



Ayant choisi la racine /arbitrairement, on |irend pour b la racine de b^ 

 qui donne af^^b[aio(\. p). Cela posé, le ihcorème de Ganss est représenté 



par la congruence 



P — 1 i> 



2 ^ ^y "(mod. p). 



/' — ■ 

 Je désignerai par ((-)) la quantités? ^ (mod. p). Mais je préciserai ce 



nombre de la manière suivante : Je poserai toujours ( (- ) ) ~^i f-,j ' t)u/% 



nombres à l'un desquels x * est toujours congru (mod./j), ce étant pre- 

 mier avec p. ( (- )) ne sera donc défini complètement que quand on aura 



fixé la racine / choisie de z" e^ — i (mod. p). 



» Considérons un module P ne contenant que des facteurs premiers dif- 

 férents : P^^pp, Pi-., pn, tous ces facteurs étant de la forme Ifl-h i. 

 Soit F une racine commune aux congruences 



p), z^=— I (mod. />,),..., z-= — I (mod.p„). 



» Considérons les valeurs des quantités ((-))' ( ( — 



re- 



latives à celte racine F, et désignons par M - I I le produit de ces quantités. 



C'est à celte dernière quantité que se rapportera le théorème qui fait l'objet 

 de celle Note. On dira que x appartient à la première, à la deuxième, à 

 la troisième ou à la quatrième classe, suivant que l'exposant de la puissance 



de F à laquelle ((p)) est égale, est o, i, 2 ou 3 (mod. 4). On voit aisè- 

 ment que chaque classe contiendra ~ ' j- -_ nonujres dis- 

 tincts, et que les (p — i){p, —i)...{p„ — i) nombres premiirs avec P trou- 

 veront chacun leur place dans ces classes. Cette répartition varie avec le 

 choix de F, et plus encore que dans le cas d'un module premier, cas dans 

 lequel Gauss l'a adoptée. Néanmois, il est aisé de voir que tout noinbre 

 qui appartient à la première ou à la troisième classe appartiendra toujours 

 à l'une (le ces deux classes, et de même |)our les deux autres classes. Ou 



