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... (/) ■ — l)(/-'l — l). ..(«,, — ll , 



voit encore qu il y a ^^ nombres qui appartiennent 



toujours à la première classe, et autant qui appartiennent loujours à la 



troisième. Parmi les premiers, sont compris les — '' ^^,^.," ' 



résidus biquadratiques. 



» Le nombre P est décomposable en deux carrés de 2" manières diffé- 

 rentes. Je vais démontrer qu'à chaque décomposition P =^ A^ -I- B", cor- 

 respond un couple de valeiu's de F égales et de signe contraire telles, que 

 l'on a AF^±B (mod. P), congruence que j'écrirai : AF^B(mod. P); 

 cette seconde congruence est aussi générale que la première, à cause de 

 rindélerminalion du signe de B. A est toujours la racine carrée de la 

 forme 4^ + i du carré impair A'-. 



» Admettons que le théorème soit vrai |)our le module P, = />i p-2- -Pm 

 et prouvons qu'il subsiste pour le module P = pP,. Soit donc 



P, -A?+B? 



et F, le nombre qui donne 



A, F, ;^ B, i^mod. P, J et p =z a'- -\- h'- . 



On déduira de là deux décompositions de P en deux carrés 



P = (A,r/ + B,/>)-+ (A.^» -B,rt)% 

 P = (A,« - B,b)^ + (A,/; + B,fl)-. 



Il suffit de considérer la seconde décomposition, qui contient la première 



lorsqu'on remplace b par ( — b). Ayant donc choisi une des valeurs de 6, 



déterminons la racine y de z-se— 1 (mod. p) qui donne aj = b (mod. p), 



a étant toujours de la forme l\l + \ . 



» Posons 



A=A,rt — B,^, B = 7V,i + B,«; 



déterminons F |)ar les congruences simullanées 



F = F, (mod.P,), F=/(mod./;), 

 el l'on aura 



AF = A,rt/'— B,bf~Kj> + B, rt = B(mo.l./y), 



AF = A.rtF,- B,/;F,= A,^> -+- B,a = B(mod.P,), 



et, p et (y étant premiers entre eux, 



AF = B(mod. P). 



