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 D'ailleurs, le théorème étant démontré pour le eus où P, est premier, 

 il est démontré général. 



» Ces préliminaires étant posés, on peut énoncer le théorème suivant : 

 » F étant (a racine de In conrjnience s" — ^ — i ( mod . P) cjui sert de hase à la 

 répartition des classes, et P = A' -+- Vr étant In déconiposilion de P en deux carrés 

 qui corresjiond à F, le nombre 2 appartient à la première, la deuxième, la troi- 

 sième ou la cpialricme classe, suivant ipie B est concp'u ci o, i , 0. ou 3 ( mod. 4). 

 Les racines carrées A et B (/e A" et de Vr sont choisies de telle sorte que A soit de 

 la forme /^ / + i , et qu elles satisfassent à la co}igruence AF ^s B( mod . P) . 

 » Ce théorème peut s'exprimer algéhriquement parla congruence 



B 



(( 



l\\ =FMmo,i. p; 



D'ai)rès la définition de ( ( ^ M' ^t '^ théorème de Ganss, on a 



c. 



h l, 



- -h h ■ 



F' '■ (mod.P). 



Il faut donc prouver simplement que l'on a 



-E^-H h.. .H I mod. 4 • 



2 2 3 :>. 



Si l'on considère, comme précédemment, P comme le produit de P, par p, 



on a 



B — A,Z? + B,rt, 



et comme A, et « sont congrus à i (mod. 4), i' en résulte 



B B, h , ,, 



- = - + - mod. 4). 

 2 2 2 ^ ^' 



De même, si l'on considère P, comme résultant du produit de p^ par 



P2 = p-2Pi --Pin on aura 



Bi B 6, , 1 » \ 

 — ^ - H (mod.4K 



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et ainsi de suite. Si l'on additionne membre à meinbre toutes les con- 

 eruences ainsi obtenues, on obtiendra celle qu'il fallait démontrer. 



>i Le théorème subsiste dans le cas où le module contient des facteurs 

 premiers égaux entre eux, pourvu que l'on ne considère que des décom- 

 positions de ce module en deux carrés premiers entre eux; mais la dé- 

 monstration, quoique iort simple, dépasserait les limites de cet extrait. » 



t'., H., 1868, l<"' Semestre. (1'. l.XVi, N" 4.) 20 



