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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Formule donnant le volume du tétraèdre maximum, 

 compris sous des faces de grandeurs données; par M. F.-V.-A. Le Besgde. 



« 1. Dans les formules suivantes n, h, c, d représentent les aires des 

 quatre faces d'un tétraèdre ABCD; la face opposée au sommet A a pour 

 aire a, et ainsi des autres; on suppose n'^ b^ c ^ tl et a <C, b -^- c + ri. 

 On range par ordre de grandeur les sommes et différences a± à, b ± c, 

 ce qui peut se faire de deux manières : 



1° h — c = e, n — d =y, n^ d = g, h-\- c^h; 



2° h — c = (', a — d ~ J\ b -\- c = g, a -h d= li. 



Ceci posé, les formules 



I (p'{t) = '5t''— 2 (e^ -*-/== -h g' -f- A-) ^' 



-e-J-g^b'=o, 

 autrement 



9'(0 = t.(t- e^) (t -P)[t - g-) + t(t- e'){t -p)[t - h^) 



+ t{t-e'){t.-g^-)[t-h-^) + tU -P){t - g^){t - /r) 



-[t.-e''){t-j')[t-g''){t-h') = o, 

 donnent, en représentant parT le volume du tétraèdre maximum, 



<p(0-4(3Tr, 



la quantité t étant déterminée par l'équation (R). 



» On voit de suite que l'équation (B) a d'abord une racine négative entre 

 — so et o, puis trois racines positives, l'une entre e- et /-, l'autre entre / 

 et g-, la troisième entre g- et Ir . Comme ©(/) doit être positif, il ne faut 

 conserver que la racine comprise entre / - et g-, les trois autres donnant œ [t] 

 négatif. On montrera que la racine comprise entre f"^ et g^ est admissible, 

 et qu'elle satisfait à la condition de maximiun. 



» La question est considérée ici sous le seul point de vue analytique, et 

 ramenée à la recherche du maximum ou minimum d'ime fonction 



(j5 itu) = K -\- \M -\- Ch + \^ut — ni- — lât; 



ce qui ne présente aucune difficulté. 



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