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» 2. Trouver le maximum ou le minimum de la fonction 



(p \tu) = k -\- ^t -\- Cil + V) ut ^ tir — i-u, 



quand il peut y avoir maximum ou mininunu. 

 » On trouve 



^ = B + Du -4- 2//Y — u-, ^ = C + D,' — oJu — /-, 



at du 



<-/-'<p d'<f d'à _ 



» Les équations 



B -hHu — itu— u"" =:o, C + D;- — o.tu — t- = o 



donnent, en prenant dans la seconde la valeur de u eX la mettant dans la 

 première, l'équation 



(i) 3^* - 4D<' -f- (D- H- 4B - iC) f - C^ = o, 



et l'on trouve de même pour la fonction (O [t] 



, N ,,^_ I ?^— 3D^' + (D' + 4B — 2C)f-' + (4A + 2 CD)f+C' 



(_2j (p\t) — , ■ ■• 



Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut, comme le montrent les 

 valeurs de -~r -~i avoir t et u de même siene. 11 faut avoir de plus 



dt' d^ u ~ r 



[\Ul — ( D — It — 2 î< j- > o, 

 qui se réduit à 



- 3r' + 2D<'-C-= -aD/= + (D- + 4B- aC)^-^ 2C- = M>o. 



Il est à remarquer que M est, au signe près, la moitié de la dérivée de l'équa- 

 tion 



f{t) = 3/* - 4Dr' + (D'^ + 4B - aC ) C - C%' 



savoir 



12/' — 12D/- + 2(D-+ 4B - 2C)/, 



nnillipiiée par t 



i2t' — r2D/^H-2(D= + 4B-2C)/-, 



ou, d'après l'équation (1), 



4D/» - 2 (D^ + 4AB - 2C f + 4C-, 



c'est-à-dire le double de M changé de signe. 



» D'après cela, la considération des courbes j =2j(f), y =y {t) mon- 



