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GÉOMÉTRIE. — Sur les lignes spiriques. Note de M. de la Goitrxerie, 

 présentée par M. Chasies. 



« Les lignes spiriques, on sections planes du tore, ont été étudiées par 

 nn grand nombre de géomètres. Il serait trop long de rappeler ici leurs 

 travaux, et je me bornerai à dire que MM. Quetelet, Ch;isles et Bertrand 

 ont donné sur cette question des détails historiques d'un grand intérêt (i). 

 Je me propose de faire connaître quelques propositions nouvelles; j'indi- 

 querai d'abord des notations que j'ai adoptées pour la clarté du langage. 



» Définitions, lïotations. — J'appelle s/J(r(V/t(e la courbe plane du quatrième 

 ordre qui possède nn axe rie symétrie et deux points doubles coïncidant 

 avec les points circulaires à l'infini. 



» La spirique a deux tangentes doubles perpendiculaires à son axe. Je 

 nomme équatoriale la droite qui est parallèle à ces lignes et située entre 

 elles à égale distance de l'une et de l'antre. Le point où elle coupe l'axe 

 de la courbe est le point équaioriat de la spirique : je le désignerai par la 

 lettre E. 



» Tous les diamètres rectilignes de la spirique se coupent en nn point, 

 centre des moyennes distances des quatre points où l'une quelconque des 

 droites qui y passent rencontrent la courbe. J'indiquerai ce centre par la 

 lettre G. 



)) Je désigne par a, , «„, «3, a^ les points où la spirique rencontre son 

 axe de symétrie. La courbe est délermiiiée quand on connaît ces cpiatre 

 points et le point équatorial. 



» J'appelle plan principal de la spirique, le plan qui passe par l'axe de 

 cette courbe et qui est perpentlicnlaire à son plan. 



» Théorèmes sur les tores ordinaires que l'on peut faire passer par une spi- 

 rique. — 1. Toute spirique appartient à six tores symétriques deux à deux 

 par rapport au plan de la courbe. Les centres de ces tores sont sur une 

 droite perpendiculaire au plan de la spirique et passant par le jioint G. 

 Leurs plans équatoriaux contiemient tous l'équatoriale de la spirique. 



» 2. Je construis le point central O' de l'involution déterminée par les 

 deux couples de points «,, «^ et a^, a,,; je décris dans le plan principal 

 un cercle sur EO' comme diamètre, et j'élève par le centre G une 

 perpendiculaire au pUin de la spirique. Les points C' et G', où cette droite 



(i) M. QuF.TEi.ET, Correspondiiiicc miitlu'-inntique, t. II. — M. Chaslbs, Aperçu liistorique, 

 note I. — M. Bertrand, Journal des Savants, 1867. 



