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rencontre le cercle EO' sont les centres de deux fores symétriques pas- 

 sant par la spirique; les axes de ces tores sont les droites C'O' et €',0'. 

 Les cercles qui passent, l'un par les points a, et flo, l'autre par les points a, 

 et a^, et qui ont leiu-s centres sur la ligne EC sont des méridiens du tore 

 dont le centre est eu C. Ce tore est ainsi complètement détermiiK-. 



» Les points r;,, n.^, «3 , n^ peuvent être groupés deux à deux de trois 

 manières différentes. INons n'en avons considéré qu'une : chaciuie des deux 

 autres fait également trouver deux tores symétriques passant par la spirique. 

 Je désignerai par O" et O "' les points où leurs axes percent le plan de cette 

 courbe. 



» L'ovale de Descartes est la variété de la spirique dans laquelle le point 

 équatorial est à l'infini. En appliquant la construction précédente, on trouve 

 que les axes des six tores qui passent par un ovale sont perpendiculaires à 

 son plan, et que chacun des tores se réduit à quatre fois ce plan. 



» 3. Les cercles lieux des centres des cercles méridiens des six tores se 

 projettent, sur le plan de la spirique, suivant trois ellipses liomofocales. 

 Leurs quatre foyers sont des foyers doubles de la spirique. 



» J'appelle ces ellipses U', U", U'". 



» 4. La spiritpie est l'enveloppe des cercles qui ont leurs centres sur U', 

 et qui coupent ortliogonaleuient le cercle décrit du point O' comme centre 

 avec un rayon égal aux tangentes menées de ce point aux deux premiers 

 tores. En considérant les tores des deux derniers couples, on obtient de 

 deux autres manières la même génération, qui est celle des anallagmatiques 

 tlu (piatrième ordre (i). Les points O', O", O" sont trois des quatre pôles 

 par rapport auxquels la spirique peut se transformer en elle-même : le qua- 

 trième doit être considéré comme étant à l'infini sur une perpendiculaire à 

 l'axe de symétrie. Douze foyers simples sont aux intersections respectives 

 des coniques U', U", U" avec les cercles directeurs qui ont leurs centres aux 

 points O', O", O". Quatre autres foyers simples se trouvent sur l'axe de la 

 courbe : le point équatorial est le centre des moyennes distances de ces 

 derniers. 



» .5. Les tores sont quelquefois réels tous les six. En faisant varier les 

 positions relatives des points E, a,, <2o, «3, a^, et en supposant que les 

 quatre derniers deviennent imaginaires deux à deux, on peut obtenir 



(i) roir sur les an-illagiiiaticiiics les travaux de MM. Moulard {Bulletin de la Sociétr Phi- 

 lomatliiqur, i8t)(j), Darlioux [Anruilcs tle T École Normale, iS(i5, i iS66), Lagiierre [Comptes 

 rendus, i) janvier liS65), Cral'lnn { Ttie Londiin mtitiieninlieal Society, 1867K 



