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ANALYSE. — Note sur les éiiuiitioiis modulaires; jkiv M. C. Jordan. 



" On saitj par la ihéorie «les fonctions elliptiques, que l'équation mo- 

 dulaire pour les transformations d'un degré premier p est du degré/; + i. 

 Si p=z 5, 7 ou 1 1 , elle peut s'abaisser au degré/; : ce fait remarquable, 

 énoncé par Galois, a été retrouvé par M. Hermite et par M. Betti. 



» Galois avait affirmé en outre que, si p >- i i , l'équation n'est suscep- 

 tible d'aucun abaissement. Ce point ne paraît pas avoir été démontré, et 

 nous allons l'établir. 



» On sait que, par l'adjonction d'une racine carrée, on peut ramener le 



groupe de l'équation modulaire à ne plus contenir que les substitutions de 



rtz -)- A , , , , . , I t 



ou cl, A, c, a sont des entiers tels que an — oc soil 



la forme 



cz ■+- d 



congru à un résidu quadratique dep, ou, ce qui revient au même, congru 

 à I (mod. p), car on peut évidemment multiplier à la fois a, è, c, <ipar un 

 entier quelconque, et par là réduire le déterminant à l'unité, sans altérer 

 la substitution. On sait enfin que, pour que l'abaissement ait lieu, il faut 

 et il suffit qu'on puisse déterminer un groupe H contenu dans le précé- 

 dent G et d'un ordre p fois moindre. 



» Or considérons le groupe G' formé des substitutions entières à deux 

 indéterminées 



X ax 4- hj 



ex 



dy 



avec ad — hc^i=^\ (mod./;). 



Ses substitutions correspondent avec celles de G, de telle sorte que le pro- 

 duit de deux d'entre elles a pour correspondante le produit de leurs cor- 

 respondantes. Si donc le groupe H existait, les substitutions de G' qui 

 correspondent aux siennes formeraient un groupe H' contenant la p"'"" partie 

 des substitutions de G'. Nous allons prouver que H' ne peut exister. 



» On sait que G' contient p{p ■+■ i){p — ') substitutions : H' en contien- 

 drait [p -h i) ' p — I ) ; son ordi'e étant premier a p, il ne contiendrait aucune 

 substitution d'ordre p. Soient S,.. S„ ses substitutions, T une substitu- 

 er et' -\— y 

 tion d'ordre u contenue dans G', celle-ci par exemple . Les 



p{p -h i){p — i) substitutions de la forme T'^Su sont évidemment distinctes 

 et représentent toutes celles de G'. 



>' Or soit A une racine primitive de /;; la substitution U = 



X 



J 





