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 élaiit contenue dans G', sera de la forme T'^Sy, et T~''U = S„ fera partie 

 de H'. Mais posons — kp + A—' M £=; yiM, pnis x' — x + M y. On voit sans 

 peine (iueT"^'''U remplace a?' par Â:jr'etj-par k~'j. Si donc on prend pour 

 uidices x' et y au lieu de x et r, ce qui n'altère pas la forme du groupe G', 



x' kx' 

 T 'U prendra la forme S„ = , , 



' )■ k-'y 



» Cela posé, le nombre de celles des substitutions de H' qui n'ajipar- 

 tiennent à aucune des deux formes suivantes 



(0 



est un nniltiple de - (/; — ij- 

 H' contient les substitutions 



s;:vs: 



qui soiii en nombre - {p ~ \f; car, en faisant varier m et «, on pourra 

 donner à A''^'" (mod. yy lune quelconque a des /j — i valeurs i, a,..., /; — i, 

 et à k"~"' une quelconque des - (f — i) valeurs /B = aR, dont le rapport R 

 à a est un résidu quadratique de p. Il est clair d'ailleurs qu'aucune de ces 

 -[p — i)" substitutions n'appartient aux formes (i) ou (2). 



» Si H' contient une autre substitution V qui n'appartienne pas aux 

 formes (i) ou (2), il contiendra les- [p — lY substitutions S"' V'S" évidem- 

 ment distinctes des précédentes, ce qui fera 2 .-[p — i )- substitutions n'ap- 

 partenant pas aux formes (i) et (2) ; s'il en contient davantage, il en con- 

 tiendra au moins 3 .- [p — \f. Il en contiendi-a donc en général /■.- [p — 1)-. 



» 11 contient, en outre, celles des substitutions de la forme (i) que 

 contient G', lesquelles, ayant pour déterminant i, se réduisent niw p — i 

 puissances de S„ ; enfin, s'il contient une substitution A de la forme (aj, 

 il contiendra toutes les substitutions de cette forme et de déterminant i, 

 lesquelles se réduisent aux suivantes AS^, en nombre /; — 1 . 



