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 » L'ordre de H' sera donc égal à 



^ + z{p-ij 



ou 



2{p-lj -^ 



suivant qu'il contiendra ou non une siibslitiition telle que A. Mais il doit 

 être égal k [p -h i ) {p — i\ ce qui montre que la première hypothèse est 



inadmissible, car p étant > 1 1, p — i H — ( p — if- sera < (p -h- i) {p — i) 



si r<^ 3, et > ip-\- •) (p — i) dans le cas contraire. La seconde hypothèse 

 n'est elle-même admissible que si /• == 2, auquel cas toutes les substitutions 

 de H' seront d'une des quatre formes suivantes : 



(3) 

 (4) 

 (5) 

 (6) 



s: = 



AS; = 



.1: 

 r 



A-"„r I' 

 - k-"x' 



s:vs;: = 

 s;fv's:'' = 



.r ' a n.r' -+- a.B.h} 

 )■ a."' R~' ex' -+- cr' (/}■ 



ce' u'a'x' + u'V^h'y 

 y a'-'R'-'(,'.r'-+- a'-Ui'j 



ou rt, è, 6', d, «', b\ c', if sont des entiers donnés, a., a', R, R' des entiers 

 variables d'une substitution à l'autre, ces deux derniers étant résidus qua- 

 dratiques. 



i> Parmi les coefficients (7, ^, c, r/, un seul peut être nul, CAr ad — bc^z^i, 

 et V n'appartenant ni à la foiiue (3) ni a la forme (4j, on n'a à la fois 

 ni a =^ d =^ o ni ^ = c = o. Si l'un de ces coefficients s'annule, on peut 

 supposer que c'est d, car, à cause de la symétrie entre x' et j^, on j)eut 

 axlmettie que c'est c ou d. Si c - o, H' contient les substitutions 



ax' -\- by 



X 



'ir 



Y = 



Il contiendra donc la suivante : 



AV 



et 



A = 



J 



r 



— x' 



X 



r 



h.x' -\- a) 

 - dx' 



où c'est le (pialrieme coefficient qui s'annule, substitution que l'on peut 

 prendre à la place de V. 



