( 3.1 ) 

 » Cela posé, la substitution 



j (une -f- c/r* R~'c<^) x' + {aRhc -+- arWl-) y 



s:vs"v 



.'ippartenant à H', devra être de l'une des quatre formes (3), (4), (5), (6). 

 Suivant qu'elle appartiendra à l'une ou à l'autre de ces formes, 



«RArt H- (/."^ dh £^ o, 

 ou 



art" + «""' R~V^ ^ o (avec aR^c -i- a~'^^^ o), 



ou 



[aa^ + a~' R~V/0 (>.R/jc + c/r* d- ) ^aa.x"* d^ ad, 



ou enfin 



(«rt- + a-'R-'c/'j (aR^'c + «-',/=) = «Vz'. a'-' ^' = «V/'. 



Donc, quels que soient « et R, la congruence 



j (aR6rt + ar* db j (c/.a- -+- a-'R-*c6) 

 (7) ' X [(art^ + «-'R-V7f,>) raR/;c-f-a-V-) -flr/] 



' X [{aa^' -f- «-'R-'éc)(aRZ'C + «-'rf^) - n'd'] = o 



devra être satisfaite. Or elle n'est pas identique, le coefficient de la plus 

 haute puissance de « n'étant pas nul; et si (i?= o, elle est du sixième degré 

 en «; si d^o, du douzième : donc elle ne peut avoir plus de six ou de 

 douze racines; mais elle a lieu, par hypothèse, pour a = i, 2,..., p — i : 

 donc p — I < 12, d'où /J<i3, le cas de p = i3 ne pouvant lui-même se 

 présenter que si d^o. 



« Ce cas doit lui-même être rejeté, car la congruence (7) ayant par 

 hypothèse douze racines réelles, le facteur aa- -+- w' R~' cb, égalé séparé- 

 ment à o(mod./)), doit donner deux de ces racines. Mais avec la con- 

 gruence 



«rt^ + o:-' R~' cb iSEE o, 



on a celle-ci 

 d'où 



or.Rbc -\- CT^ d"^ s^o, 



ou a-d^^h^c-, 



ou, comme b'^c'^ ^ [ad — i)^, 



I — 2ad ^ o. 



