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 surface. Cette ligne de longueur minimum {brevissimn linea) a été nommée 

 par Laplace, dans le livre III de la Mécanique céleste, une ligne géodésique. 

 Sur la sphère, cette ligne se confond avec un arc de grand cercle; sur le 

 cylindre droit, elle devient une hélice, etc. J'étudie dans le Mémoire actuel 

 la loi suivant laquelle varie le plan osculateur de cette ligne, et j'établis 

 quelques théorèmes que je crois nouveaux et qui sont relatifs à la flexion 

 variable de toutes les lignes géodésiques d'une même surface. J'appelle 

 ainsi le rapport infinitésimal de l'angle de deux plans osculateurs voisins et 

 de l'arc infiniment petit correspondant. 



» La déviation de deux plans osculateurs peu éloignés est sensiblement 

 proportionnelle à la flexion et à l'arc qui les sépare, et peut être consi- 

 dérée, pour une petite distance, comme égale à la flexion multipliée par 

 l'arc. 



» Cela posé, je prouve les propositions suivantes : 



» La flexion d'une ligne géodésique tangente à une ligne de coiu'bure de 

 la surface est nulle au point de contact, et réciproquement; pour que la 

 flexion soit nulle, il faut que cette condition soit remplie. Toutes les lignes 

 géodésiques qui passent par un ombilic de la surface ont également une 

 flexion nulle. 



» La flexion maximum de toutes les lignes géodésiques qui passent par 

 un point déterminé est celle qui correspond à la ligne géodésique inclinée 

 de 45 degrés sur les lignes de courbure qui passent en ce point. 



» La flexion d'une ligne géodésique quelconque en un point est égale à 

 la flexion maximum de la ligne précédente multipliée par le cosinus du 

 double de l'angle que font ces deux lignes entre elles, d'où l'on déduit im- 

 médiatement ces deux conséquences : 



« Deux géodésiques perpendiculaires ont même flexion à leur point 

 d'intersection. 



)i Les carrés des flexions de deux géodésiques inclinées à /|5 degrés et 

 qui passent par le même point ont une somme constante égale au carré de 

 la flexion maximum correspondant au même point. 



» Dans le cas particulier où la surface proposée est une surface réglée 

 développable, on a, en outre, ces deux autres théorèmes fort simples : 



» Si plusieurs géodésiques coupent sous un même angle les génératrices 

 d'une ou de plusieurs surfaces réglées développables quelconques, les 

 flexions de ces diverses courbes sont proportionnelles à la courbure aux 

 points d'intersection avec la génératrice. 



» La courbure d'une de ces lignes est égale à sa flexion multipliée par 



