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 premier membre aura la forme t^ — x- et le second la forme j- + :'. Ainsi 



t^ —X- =J- H-Z-. 

 " Voici une fies solutions. On a 



De là 



[u^+h-f{a'' + h-){c- + d') 



— [ië' ~ fi')[('-c + >"l) + 2g/iîatl — /h:)]- + [(^•- — li-)[atl — hc) 



— ig/i{ac -\- /'(l)]-, 

 (le sorte que l'équation 



r- - X- = j- + z.% 



où l'on suppose que t, x, j% z n'ont |)as de diviseur commun, est résolue 

 en posant 



r == ■?.ef[[g- - h-)[ac + hd) ^ 2gh{ail. - hc)], 

 z = 2^ [(g^ — h-)[nd— bc) -h igh{ac -f- Ac/)j. 



). On pourrait donner d'autres valeurs à r et z, en variant l'ordre de 

 nudtipiication des facteurs 



mais cela est inutile, la décomposition de g- + /r, ci- -+- h-, c^ H- d- en 

 facteurs, quand on passera aux applications luuiiériques, doiuierait encore 

 d'autres valeurs de >==2ç/^)', z = 2p/z', mais J''" -h s'- conservera la 

 même valeur. 



1) Pour obtenir l'identité précédente, on mettra l'équation 



t' = :r- + y- -H Z" 

 sous la forme 



X et |7. étant premiers entre eux et }x pair, ainsi que j et z, car r = /J-jk', 

 z = fJLz'; ^ et a' sont impairs, ? ^}.t\ x =; Xjt'. 



» Les décompositions résultent de ce c[ue t' et z' sont pren)iers entre eux, 

 aussi bien que j' et z', et de ces lliéorénies : le produit d'ime somme de 

 deux carrés par une somme de deux carrés est aussi une somme de deux 

 carrés; une somme de deux carrés, premiers entre eux, a pour diviseurs 

 des sommes de deux carrés. 



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