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 » La seconde montre que la seule résistance admissible est proportiou- 

 nclle à la vitesse. La première fournit la valeur de S, et, eu la reportant 

 dans la troisième, nous obtenons l'équation différentielle de la trajec- 

 toire, 



=f 



Si Ton y effectue toutes les simplifications, il reste 



dr-' d-r h -^ 



ds-" ds" I +/= 



et cette forme que l'on pourrait facilement intégrer entre r et s, et même 

 ensuite en coordonnées polaires entre ret 0, va nous suffire pour conclure. 



» On voit, en effet, que le coefficient de résistance B a complètement 

 disparu, et que l'existence ou la suppression du frottement / n'influencent 

 que la valeur de la constante. Or, C est arbitraire, ce qui montre que la 

 taiitochrone des forces centrales proportionnelles à la distance est la même 

 avec ou sans frottement, comme avec ou sans résistance proportionnelle à la 

 vitesse. 



» Cette courbe a d'ailleurs été déjà déterminée pour le cas où l'on n'a ni 

 frottement ni résistance par M. Piiiseux [Journal de Matliënmtiques pures 

 et appliquées, t844, *• IX, p. 4 '5), qui a obtenu les résultats suivants : si la 

 force est répulsive, la tautochrone est toujours une épicycloide extérieure; 

 si elle est attractive, la courbe peut, suivant les valeurs respectives du coef- 

 ficient d'attraction et du temps d'isocbronisme, être une épicycloide inté- 

 rieure ou une certaine spirale qui a la propriété d'être semblable à la 

 développée de sa développée. 



» Il reste à connaître l'extrémité commune des arcs isochrones. Or elle 

 ne saurait se trouver qiu' dans une position d'équilibre, puisqu'une oscil- 

 lation infiniment petite doit exiger un temps fini pour se produire dans ses 

 environs. Ce sera donc, dcms le cas actuel, au point oii la force, c'est-à-dire le 

 rayon vecteur, fait avec la norni(de C angle de frottement. 



» Ajoutons que si l'on considère le mouvement en sens contraire à partir de 

 ce point en raison d'une vitesse initiale, ce qu'il faut toujours faire à part dans 

 les questions de frottement, risuclnonisnie aura encore lieu dans les mêmes 



