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» 1° Construire la tangente en un point de la courbe de contact de la 

 droite génératrice et d'une surface directrice; 



» 2° Construire la normale en un point de la surface décrite par une 

 génératrice assujettie à certaines conditions nuillipies. 



» Une première question, d'où plusieurs autres dérivent, est celle-ci : 

 construire la normale en un point i de la surface engendrée par une droite G 

 dont quatre points a, b, c, e glissent sur quatre surfaces A, B, C, E. 



» Il existe une droite A qui s'appuie sur les quatre normales aux surfaces 

 en leurs points a, b, c, e. Les deux droites G et A forment deux droites 

 conjuguées, dans le mouvement de la droite G; par conséquent le plan /A, 

 qui passe par le point / et par la droite A, est normal à la trajectoire du 

 point /. Et la normale en / à la surface décrite par la droite G passe par le 

 point où le plan normal à G rencontre A. 



» M. Mannheim appelle normalie la surface lieu des normales d'une sur- 

 face A menées aux points d'une courbe tracée sur cette surface. Il donne 

 une démonstration fort simple d'un théorème connu qui lui est utile dans 

 plusieurs questions. Ce théorème, démontré par Sturm dans son Mémoire 

 sur [a vision (i), revient en d'autres termes à celui-ci : Toute normalie qui 

 passe par la normale d'une surface en lui point a pour plans tangents aux 

 deux centres de courbure principaux, les plans des sections principales. 



» Nous citerons parmi les questions résolues, celle-ci : 



» Une dioite G est oscidatrice en un de ses points a à une surface A, ta)idis 

 quun autre point e de celte droite glisse sur une surface E ; construire : i° le plan 

 normal à la trajectoire du point a , ef a" la normale à la surface décrite par G 

 en un de ses points i. 



» M. Mannheim termine ce paragraphe en considérant certaines questions 

 pour lesquelles l'uitervention des centres de courb ure ne suffit plus, et qu 

 exigent la considération d'éléments infiniment petits d'ordi e su|)érieur au 

 secoiiil. 



» Déplacement d'un dièdre. — On résout d'abord ce problème, d'où ré- 

 sulte ensuite la solution de diverses questions particulières : 



» L'aréle G d'un dièdre de grandeur constante est tangente à deux surfaces C , 

 E; et les deux faces du dièdre touchent deux surfaces A, B; construire : i° la nor- 

 male en un point i de la surface déaile par la droite G ; et 2" les tangentes aux 

 courbes de contact des faces du dièdre et des surfaces A, B. 



» Au sujet du déplacement d'un angle ti ièdre trirectangle, M. Mannheim 

 fait remarquer que la droite rectifiante de Lancret est parallèle à l'axe du 



(i) Comptes rendus, t. XX, p. 1241. 



C. R., 1868, I" Semeitre. (T. LXVJ, N" 12.) 79 



