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 m'étais proposé l'étude de certaines expressions différentielles, qu'on peut 

 nommer jiaramèlres on invariants différentiels des fonctions. 



» Ces expressions sont définies de la manière suivante : Étant données 

 toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre ^inclusivement d'une fonction V 

 de n variables ûc,, jt^,..., jc„, j'appelle paramètre différentiel d'ordre (y de 

 la fonction V toute fonction F composée de ces dérivées suivant une telle 

 loi que, si l'on change les variables en d'antres a:\, .r'„,..., jr'„ qui leur 

 soient liées par des relations linéaires et orthogonales, F conserve à la fois 

 même forme et même valeur. Les fonctions 



rfvy /^\' ("^^V '^'v , d'y , f/'v 



/rfV 



_ rf.r / \dy ) \d~ } dx- dy ■ dz' 



sont depuis longtemps connues comme jouissant de cette propriété. Le 

 rôle continuel qu'elles jouent dans la Géométrie, dans la Mécanique, dans 

 les diverses branches de la Physique mathématique, et surtout l'importance 

 qu'elles ont acquise par les travaux de M. Lamé, m'avaient engagé à 

 chercher si leur caractère fondamental leur était propre, ce qui m'avait 

 conduit au problème que je viens d'énoncer e| auquel j'ai consacré le pre- 

 mier chapitre du Mémoire cité. 



» La solution dépend d'un système de ~ ■ équations linéaires aux 



différences partielles, répondant chacune à l'une des combinaisons a à 2 

 des n premiers nombres, et auxquelles on doit satisfaire simultanément par 

 la fonction F. En indiquant par P[h,k,m) ^'"^ dérivée de V prise h fois par 

 rapport à x^, k fois par rapport à x^^ et, par rapport aux autres variables, 



un nombre total de fois représenté par m, entendant en outre par V une 



h. K 



sommation faite pour toutes les valeurs de h et de k dont la somme ne sur- 

 passe pas m, l'une quelconque de ces équations est 



dont la forme montre que le paramètre différentiel le plus général F est une 

 fonction arbitraire d'un certain nombre de solutions particulières qu'on 

 peut appeler paramètres fondamentaux ^ et à la formation desquels tout se 

 réduit. Ce nombre est celui des variables p qui doivent entrer dans F, 

 diminué du nombre de celles des équations (i) qui ne rentrent pas dans les 

 autres. En outre, les solutions particulières qui peuvent composer un sys- 

 tème de paramètres fondamentaux doivent être distinctes. Cette recherche 



